啤酒瓶换啤酒问题

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1、啤酒瓶换啤酒问题青岛开发区初级实验初中孙艺格指导老师：葛岩岩一.问题的提出 在日常生活中,我们经常会遇到用空啤酒瓶换啤酒的问题。喝完了啤酒还能用空瓶换啤酒继续喝，那么你研究过到底你能换多少啤酒吗？怎么合算呢？如果你没有经历过这种事情，下面这道数学题应该见到过吧： 现有10瓶啤酒，每三个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？ 就这个问题，大部分人给的答案通常都是14瓶（先喝10瓶，用9空瓶换来3整瓶，喝3瓶，还有3+1=4个空瓶。然后用3个空瓶再换一整瓶，喝掉。最后剩下2个空瓶。共10

2、+3+1=14瓶）。然而有些更聪明的人却认为正确答案应该是15瓶。他们认为剩下的那两个空瓶仍然能够被利用，先借来一瓶啤酒，喝完后，连同剩下的两个空瓶一起还给人家，这样就可以喝15瓶了。 我思考再三也觉得这就是这道题的正确答案。 最近老师布置了作业，我突然又想到了这个问题，它能不能被深入地推广到一般情况呢？下面就是我对这个问题的思考与研究。二. 数学模型建立    下表列出了原有啤酒瓶数和实际能喝到的瓶数的一些数据：原有啤酒瓶数X实际能喝到的瓶数1123344657697108129131015通

3、过观察，我把上表整理如下，大家能发现什么规律吗？ 原有啤酒瓶数X实际能喝到的瓶数2346698121015113457710913根据归纳总结，我发现有这样一条规律： ①当原有啤酒瓶数X为偶数时，则实际能喝到原来1.5倍瓶数的啤酒。 ②当原有啤酒瓶数X为奇数时，则实际喝到原来1.5倍瓶数取整数的啤酒。 这是简单的一般归纳得出的结论，但能普遍用于一般情况吗？那就要通过下面的分析来解决。三. 数学模型分析与问题的解决 经过仔细分析，我发现：只要是每有两个空瓶，都可以运用前面提到的“借瓶子”的方法再喝

4、一瓶啤酒。我们可以这样处理那些剩余的空瓶：把所有空瓶分为两个两个一组，每一组等于一瓶“没有空瓶”的啤酒（只可以喝，但不能得到空瓶）。这样把问题简化了，就可描述如下：当原有瓶数X为偶数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5X个正好分完。每组又是一瓶。共喝掉X + 0.5X = 1.5 X瓶。 当原有瓶数X为奇数时：先喝掉X瓶，然后把空瓶分为2个组，每组0.5（X-1）个，还剩一个空瓶，浪费掉。共喝X +0.5（X—1）= 1.5X-0.5瓶。通过这两个式子，算出来的结果与上面整理过的表格

5、完全一一对应。这也进一步验证了我们不完全归纳得出的结论。通过这种思想，我们能不能进一步再推广呢？如果是4个、5个或更多空瓶换一瓶啤酒，又会怎么样呢？四. 数学模型的进一步推广    现有X瓶啤酒，每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？由上面的推导过程来看，如果是Y个空瓶可以换一瓶啤酒，那么每拥有（Y—1）个空瓶，就可以用“借瓶子”法得到一瓶啤酒。所以当喝完X瓶啤酒得到X个空瓶之后，又能喝到 [ X/（Y—1）] 瓶啤酒。总共就是 [ X + X /（Y—1）] 瓶啤酒(若除不尽

6、时则向下取整数).整理该式子，就得到了最后的结论：可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶啤酒(若除不尽则向下取整数)。五. 论文总结：问题：现有X瓶啤酒，每Y个空瓶可以换一瓶新的啤酒。问总共能喝到多少瓶啤酒呢？ 通过上面的分析，那么我们可知总共可以喝到 [ XY /（Y—1）] 瓶啤酒(若除不尽则向下取整数)。