2003—数二真题、标准答案及解析

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1、2003年考研数学（二）真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）1（1）若x0时，(1ax2)41与xsinx是等价无穷小，则a=.4（2）设函数y=f(x)由方程xy2lnxy所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是.xn（3）y2的麦克劳林公式中x项的系数是__________.a（4）设曲线的极坐标方程为e(a0)，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.111TT（5）设为3维列向量，是的转置.若111，则111T=.101

2、2（6）设三阶方阵A,B满足ABABE，其中E为三阶单位矩阵，若A020，则201B________.二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman0,limbn1,limcn,则必有nnn(A)ab对任意n成立.(B)bc对任意n成立.nnnn(C)极限limac不存在.(D)极限limbc不存在.[]nnnnnnn（2）设a3n1xn11xndx,则极限limna等于nn2

3、0n33(A)(1e)21.(B)(1e1)21.33(C)(1e1)21.(D)(1e)21.[]xyxx（3）已知y是微分方程y()的解，则()的表达式为lnxxyy钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-1-22yy（A）.(B).22xx22xx(C).(D).[]22yy（4）设函数f(x)在(,)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.[]yOxtan

4、xx（5）设I4dx,I4dx,则1020xtanx(A)II1.(B)1II.1212(C)II1.(D)1II.[]2121（6）设向量组I：1,2,,r可由向量组II：1,2,,s线性表示，则(A)当rs时，向量组II必线性相关.(B)当rs时，向量组II必线性相关.(C)当rs时，向量组I必线性相关.(D)当rs时，向量组I必线性相关.[]三、（本题满分10分）ln(1ax3),x0,xarcsinx设函数f(x)6,x0,ax2exax1x0,,xxsin4问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为

5、何值时，x=0是f(x)的可去间断点？四、（本题满分9分）钻石卡高级辅导系统——全程、全方位、系统化解决考研所有问题，成功率趋近100%-2-2x12t,2dyu设函数y=y(x)由参数方程12lnte(t1)所确定，求.ydudx2x91u五、（本题满分9分）arctanxxe计算不定积分dx.3(1x2)2六、（本题满分12分）设函数y=y(x)在(,)内具有二阶导数，且y0,xx(y)是y=y(x)的反函数.2dxdx3(1)试将x=x(y)所满足的微分方程(ysinx)()0变换为y=y(x)满足的微分方程；2dydy3(2)求变换后的

6、微分方程满足初始条件y(0)0,y(0)的解.2七、（本题满分12分）4讨论曲线y4lnxk与y4xlnx的交点个数.八、（本题满分12分）21设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(,)，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线22段PQ被x轴平分.(1)求曲线y=f(x)的方程；(2)已知曲线y=sinx在[0,]上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.九、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线x(y)(y0)绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面32圆的半径为2m.根据设计要求，当以3m/min的速率向容器内注入液体时，液面的面

7、积将以m/min的速率均匀扩大（假设注入液体前，容器内无液体）.(1)根据t时刻液面的面积，写出t与(y)之间的关系式；(2)求曲线x(y)的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)十、（本题满分10分）f(2xa)设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(x)0.若极限lim存在，证xaxa明：(1)在(a,b)内f(x)>0;钻石卡高级辅导系