中考新定义题中的函数问题（沈宏良)

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1、中考新定义题中的函数问题镇海古塘中学沈宏良所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，其特点是源于初中数学内容，但又是学生没有遇到的新信息，它可以是新的概念、新的运算、新的符号、新的图形、新的定理或新的操作规则与程序、新的情境等等．要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学试题的新亮点.解题关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进

2、行思想方法的迁移．D2．(2013·舟山)对于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，定义一种运算A⊕B＝(x1＋x2)＋(y1＋y2)．例如，A(－5，4)，B(2，－3)，A⊕B＝(－5＋2)＋(4－3)＝－2.若互不重合的四点C，D，E，F满足C⊕D＝D⊕E＝E⊕F＝F⊕D，则C，D，E，F四点()A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点AB3．定义[a，b，c]为函数y＝ax2＋bx＋c的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m

3、＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)；②当m>0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于32；③当m<0时，函数在x>14时，y随x的增大而减小；④当m≠0时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论有()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②④4．(2014·绍兴)如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标；由题意可得y＝x2－2x＋1＝(x－1)2

4、，∴此函数图象的顶点坐标为(1，0)(2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?5．(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；答案不唯一，如：y＝2(x－3)2＋4与y＝3(x－3)2＋4(2)已知关于x的二次函数y

5、1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．666.7.(2015·淄博)如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A，B，C，D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2－2x－3，AB为半圆的直径，求这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长．8.9．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏

6、幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．解：(1)依题意，选择点(1，1)作为抛物线的顶点，二次项系数是1，根据顶点式得：y＝x2－2x＋2(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b，c＋b2＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b，∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1，∴当b

7、＝1时，c＋b2＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x[作业题]：(2015咸宁）如图1，已知直线y＝x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象，定义为“V形折线”．(1)观察图象，请写出“V形折线”的两条性质；(2)如图2，该“V形折线”与双曲线y＝（k>0,x>0）交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与“V形折线”交于另一点E，与双曲线交于点P.①试求△PAD的面积的最大值；②

8、在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)如：①函数的最小值为0；②函数图象的对称轴为直线x＝－3；等．(2)如图2，①∵点C(1，a)在直线y＝x＋3上，∴a＝1＋3＝4.∵点C(1，4)在双曲线y＝x/k上，∴k＝1×4＝4，y＝.∵点D是线段AC上一动点(不包