【教学设计】《一元二次方程根的判别式》（湘教版）

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1、《一元二次方程根的判别式》教学设计◆教材分析本节课是“一元二次方程”的第三节课，是继一元一次方程，二元一次方程，分式方程之后，又学习的一种方程类型，本节课主要讲解一元二次方程根的判别式，经历对判别符号△的讨论，体会分类讨论思想.理解一元二次方程根的判别式的作用，会用判别式判断一元二次方程是否有实数根和两个实根是否相等。因此本节课重点会用判别式判断一元二次方程是否有实根和两实根是否相等.所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。◆教学目标【知识与能力目标】理解一元二次方程根的判别式的作用，会用判别式判断一元二次

2、方程是否有实数根和两个实根是否相等。【过程与方法目标】经历对判别符号△的讨论，体会分类讨论思想。【情感态度价值观目标】通过学生探讨一元二次方程根的判别式，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。◆教学重难点【教学重点】会用判别式判断一元二次方程是否有实根和两实根是否相等。【教学难点】正确计算判别式的值；分类讨论思想的应用。◆课前准备多媒体课件。◆教学过程一、导入新课一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a≠0)配方，得：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中叫做一元二次方程根的判别式

3、，⊿=b2-4ac＞0<=>有两个不相等的实数根。⊿=b2-4ac=0<=>有两个相等的实数根。⊿=b2-4ac＜0<=>没有实数根。二、新课学习例1若关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m=0有两个实数根，则m的取值范围是（D）A）m﹥0B）m≥0Cm﹥0且m≠1Dm≥0且m≠1解：由题意，得m-1≠0①⊿=（－2m)2-4（m-1）m≥0②解之得，m﹥0且m≠1，故应选D练习1选择题1不解方程，判断方程0.2x2-5=1.5x的根的情况是（A）A)有两个不相等的实数根B)有两个相等的实数根C)没有

4、实数根D)无法确定2.若关于的一元二次方程（k-1）x2+2kx+k+3=0有实数根，则k的取值范围是（C）A)k≤1.5B)k﹤1.5C)k≤1.5且k≠1D)k≥1.5例2求证：不论m取何值，关于x的一元二次方程9x2-（m+7）x+m-3=0都有两个不相等的实数根。证明：⊿=[-（m+7）]2-4×9×（m-3）=m2+14m+49-36m+108=m2-22m+157=（m-11）2+36∵不论m取何值，均有（m-11）2≥0∴（m-11）2+36＞0，即⊿＞0∴不论m取何值，方程都有两个不相等的实数

5、根。小结：将根的判别式化为一个非负数与一个正数的和的形式。填空题1、关于x的方程x２+2kx+k-１＝0的根的情况是_______________2、关于的一元二次方程（a+c）x2+bx+=0有两个相等的实数根，则∆ABC为——三角形二、求证:不论a为任何实数,2x2+3(a-1)+a2-4a-7=0必有两个不相等的实数根。例3已知关于的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x1x2②k的取值范围；②是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求k的取值；如果不存在，请说明理由

6、；解：①根据题意，得∆=（2k-1）2-4k2>0又k2≠0解得k<且K≠0∴当k<0且k≠0时，方程有两个不相等的实数根②不存在假设存在方程的两个实数根x1x2互为相反数则x1+x2=-=0∵k2≠0∴2k-1=0∴k=k=]与k<且k≠0相矛盾∴k不存在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中叫做一元二次方程根的判别式。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)其中叫做一元二次方程根的判别式，⊿=b2-4ac＞0<=>有两个不相等的实数根⊿=b2-4ac=0<=>有两个相等的实数根⊿=b2-4ac＜

7、0<=>没有实数根是否存在这样的非负整数m，使关于的一元二次方程。m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。解：不存在这样的非负整数m。理由：要使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个实数根。则m2≠0①∆=[-(2m-1)]2≥0②解得m≤且m≠0而题中要求m为非负整数，因此这样的非负整数m不存在。三、结论总结1、举例证明怎样运用适当的方法解一元二次方程。2、用公式法解一元二次方程为什么要先算b2-4ac的值？怎样由b2-4ac的值判定一元二

8、次方程根的情况？3、一元二次方程的四种解法各不相同，可用于不同形式的方程；但又相互紧密联系，都体现了“降次”的转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程求解。四、课堂练习例4：已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=a，BD=b，BC=c,且关于x的一元二次方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根，求证：∠BDC=∠A证明：∵方程ax2-2bx+c=0有两个相等的实数根∴⊿=（-2b）2-4