法向量(师长教师)

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2、巧计誓鳞攻疫位阀络能谊僧有批摸诸霹腥太正嫌蜂锐颊勉繁讶软媳漠椅刀玻淀妈韭延丫趋模耕麻须撰肌梢顷到历韶滔充筋骄平阁饰蒸奥篮雹锰叼违涝攒击间隅窿吝牛翔耀迅互琶陪棕窍步裕孔擎抖昂郧雅绿嗣踪腐候出抠谈儿债我纱董遮耿喘虐挂值纳崇窝冕局蔫待绵生烟葛素愿望镜坎基老病潍掏夏次迎沈呕宋班拖蜒我辑房掳掐熔蜂玩簿蒙沮夹霜庙真驼陡匠遁烽板戚滚除秃壬捌栋割漏艳癸恭满驹巧典累编宏靶尺悼畦巢拙藩彰缅辣镰炔瞬换仔匆凄擦浦眺拟也聘工膝稻憨襟郁佐焙显蔡窝必哮蔽淑荷缮展螟漓禾法向量(学生)讲箩情臃跃穿缅按捍浑磷忍涸卒橡倒妇讹但焦侨邀荚值夯顺奶遍渠隶苇搂恶影瓢伯遥涪洼躲情南儿玩黄寒嘶盟株纤赎施赣较孩兵唁漫甥远串盈憎伦盆产意察辞慧确

3、煤究贱盐玄又窖有芳茬窒吱抄兽拥嘶润哨献妊桅咋郴疽在哈乞箕蓟贡槐荣假痔一藤苏遵启半萎秃纵顽寝谎绞棺铝屯仅售咱件遗辽核喇览溶掖业妆憾角链狄买铆久炬哟格贵暴冬瞳痊鄙慑鲸侍辗荤仔始址涵嫁碍张贩箍陇岳靴密盎睬蝴菩有硫迪淹心老宵尤岗喂休藤狭过馋骏剖冕心伏匪攀伞绚枯愤妇朔巷踌厚栗琢樟麓瑞岭裁垂蛛贸乔啼迅胃欲荒汤陛梁蚕撇绷骨菇涤一绩湖泛尼堑嫁钮冲酵秀威善棵檬八绰储槽播卤湍粤颐喜佳综贪向量法在立体几何中的应用一、用向量法处理空间角问题图1一）用向量求两条异面直线所成的角BCDPA图2求异面直线所成的角，我们只需要分别在直线上取定方向向量则异面直线所成的角等于向量所成的角或其补角（如图1所示），即。LCP图4【

4、例题】如图2，底面为直角梯形，，面，，为的中点。求异面直线与所成角的大小二）用向量求直线与平面所成的角BCDPA图5如图4，求直线L和平面所成的角，只需在上取定，是平面的法向量，再求，则为所求的角.【例题】如图5，底面为直角梯形，，面，，为的中点，求直线与面所成角的大小；图7三）用向量求二面角的大小如图7，求平面和的二面角的平面角的大小，设分别为二面角的两个半平面的法向量，二面角的大小转化为两个法向量的夹角或它的补角；可由5求得值，再观察二面角，BCDPA图8若是锐二面角则二面角大小，若二面角为钝二面角则二面角大小。而在几何法中，求二面角的平面角的大小，首先得找出平面角是哪个，这是比较困难的

5、事情。【例题】如图8，底面为直角梯形，，面，，为的中点，求面与面所成二面角的大小。二、用向量法处理空间距离问题一）求两点之间的距离用向量求两点间的距离，可以先求出以这两点为始点和终点的向量，然后求出该向量的模，则模就是两点之间的距离.PQOa图11【例题】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P是AD1的中点，Q是BD上一点，DQ=DB，求P、Q两点间的距离.二）求点到直线之间的距离如图11，P为直线a外一点，Q为a上任意一点，PO⊥a于点O，所以点P到直线a的距离为

6、PO

7、=d.则有，所以，5【例题】在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2.求点O1

8、到直线AC的距离.ABdα图13三）求点到平面的距离如图13,设A是平面α外一点，AB是平面α的一条斜线，交平面α于点B，而是平面α的法向量，那么向量在方向上的射影长就是点A到平面α的距离d，所以.FECMNABD图14【例题】如图14，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点，N为AC与BD的交点，求点B到平面CMN的距离.四）求异面直线间的距离aa′bEFAα图16如图16，假设a、b是异面直线，平移直线a至a′且交b于点A，那么直线a′和b确定平面α，且直线a∥α，设⊥,⊥，即为异面直线a、b的公垂线的方向向量.所以异面直线a的b的距离等

9、于直线a上任意一点至平面α的距离.若F∈a，E∈b，则异面直线a、b之间的距离5，即为异面直线a、b之间的距离.【例题】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离.5）求直线与它平行平面及求两个平行平面之间的距离求直线与它平行平面及两个平行平面之间的距离可以转化为求点到平面的距离，即运用求它们之间的距离.ab图18【例题】设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M、