【文档】《一元二次方程的根与系数的关系》备课素材（数学人教九上）

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1、第二十一章一元二次方程21．2　解一元二次方程*21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系素材一　新课导入设计情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣情景导入　“十一黄金周”刚刚过去，相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点，下面，老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化——埃菲尔铁塔，时装秀，红酒文化，巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家，让我们一起走进历史，了解伟人——代数学之父韦

2、达．[说明与建议]说明：教师借助刚刚过去的“十一黄金周”为话题，让学生一边聆听理查德·克莱德曼的钢琴曲，一边欣赏法国文化图文，阅读了解历史中的代数学之父——韦达．建议：文化与科学密不可分，通过学生欣赏图片，聆听钢琴曲，让同学们融入轻松、愉快、高雅的氛围之中，笔锋一转，带领学生了解法国16世纪的伟大数学家——韦达，从而导入新课，自然过渡．归纳导入　解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和方程的系数有什么联系？(1)2x2－5x－12＝0；(2)x2＋2x＋1＝0；(3)x2＋2x－1＝0.方程

3、x1x2x1＋x2x1·x22x2－5x－12＝0__4____－________－6__x2＋2x＋1＝0__－1____－1____－2____1__x2＋2x－1＝0__－1＋____－1－____－2____－1__　　[说明与建议]说明：复习巩固利用公式法求一元二次方程的根，为进一步明确一元二次方程根与系数之间的联系埋下伏笔．建议：因为利用公式法解一元二次方程学生已经掌握，可以将本班学生分三个小组进行计算，从而节约时间．素材二　教材母题挖掘教材母题——第16页例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根

4、x1，x2的和与积：(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.【模型建立】对于一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－，x1x2＝，一元二次方程“根与系数的关系”应用非常广泛，常结合完全平方公式进行变形应用，灵活运用一元二次方程“根与系数的关系”往往给解题带来方便．【变式变形】1．[昆明中考]已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(C)A．－4　　　　　B．－1　　　　　C．1　　　　　D．42．若4x2＋

5、kx－6＝0的一根为3，则另一根为__－__．3．若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1x2＝__3__．4．[德州中考]方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x＋x＝4，则k的值为__1__．5．已知关于x的方程x2－kx＋k2＋n＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且(2x1＋x2)2－8(2x1＋x2)＋15＝0.(1)求证：n<0；(2)试用含k的代数式表示x1；(3)当n＝－3时，求k的值．[答案：(1)略　(2)x1＝3－k或x1＝5－k　(3)k＝1]素材三　考

6、情考向分析[命题角度1]已知一根求另一根利用一元二次方程根与系数的关系求得x1＋x2和x1x2的值，然后再将已知的根代入x1＋x2或x1x2中，求得另一根．例　一元二次方程x2－x－2＝0的一个根为2，则另一个根为(C)A．1B．2C．－1D．－2[命题角度2]已知一元二次方程求含根的代数式的值先将要求的代数式变形为含有两根之和或两根之积的式子，再利用根与系数的关系代入求值计算即可．关于两根常见的几种代数式求值，可参见如下：1．x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2.2．(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2.3．(

7、x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1.4.＋＝.5.＋＝＝.6．

8、x1－x2

9、＝＝.例　[东南中考]若一元二次方程x2－x－1＝0的两根分别为x1，x2，则＋＝__－1__．[命题角度3]由两根关系式求参数的值将代数式变形为用两根的和及积表示的形式，再借助根与系数的关系便可求得参数的值．例　[威海中考]方程x2－(m＋6)x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是(C)A．－2或3B．3C．－2D．－3或2　　[命题角度4]根与系数的关系和根的判别式的综合应用一元二次方程根与系数

10、的关系是方程知识中一个十分重要的知识点，它不仅很好地揭示了一元二次方程的内部规律，而且是以后解决二次函数的相关综合题的重要手段，对培养学生的数学思维和创新思维能力有很好的促进作用．此知识作为考点出现在各地中考试题中的频率也一直很高，是数学命题者青睐的一个重要内容．例　[南充中考]已知关于x的一元二次方程