数列求和及综合应用 3

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1、第二讲数列求和及综合应用【基础回扣•步步为营】21【主干构建】【题检回扣】1.（2010·天津高考）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则=。【解析】,当且仅当，即n=4时取等号，所以Tn的最大项为T4，所以=4.2.（2010·浙江高考）设为等比数列的前n项和，则(A)-11(B)-8(C)5(D)11【解析】由得所以，所以.故选A.3.（2010·华南师大附中模拟）等差数列的前项和为，，；等比数列中，，，则的值为（）A．64B．-64C．128D．-128【解析】选B.由，得，由，得.所以，，所以，所以，所以.4.（2010·山东德州模拟）公差不

2、为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,,则等于A.18B.24C.60D.90.【解析】答案：C由得得,再由得则,所以,故选C5.（2010·聊城模拟）设等比数列{}的前n项和为，若=3，则=（A）2（B）（C）（D）3【解析】设公比为q,则＝1＋q3＝3Þq3＝2于是.【答案】B6.（2010·济南模拟）数列的通项，其前项和为，则为A．B．21C．D．答案：A【解析】由于以3为周期,故故选A.21【考向突破•典例精析】热点考向一可转化为等差或等比数列的求和问题【考情分析】1.可转化为等差或等比数列的求和问题，已经成为高考考查的重点内容之一。2.该类问题出题背景选择面广，易与函数方程、递

3、推数列等知识综合，在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例1】（2010·重庆高考）已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.（Ⅰ）求通项及；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.【审题指导】1.第一问利用等差数列的通项公式和前项和公式直接求解即可；2.第二问利用分组求和转化为等差与等比数列的求和问题，就等到解决.【自主解答】【规律方法】某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：1.凑配、消项变换——如将递推公式通过凑配变成或消常数项转化为2.倒数变换——如将递推公式取倒数得3.对数变换——如将递推公式取对数得；

4、4.换元变换——如将递推公式变换成则转化为的形式。【变式训练】已知定义在R上的函数f（x）的图像关于点对称，对任意的实数x，都有，且f（-1）=1，f（0）=-2，则f（1）+f（2）+f（3）+...+f（2011）的值为（）A.-2B.-1C.0D.1热点考向二错位相减法求和【考情分析】1.错位相减法求和，是高中数学中重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交汇点处命题。3.多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例2】（2010.全国新课标）设数列满足（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和

5、.【审题指导】1.利用叠加法和等比数列的求和公式即可求解；2.利用错位相减法求和.【自主解答】【规律方法】1.几种求通项及求和方法（1）已知求可用叠加法，即2.已知求可用叠乘法，3.设为等差数列，为等比数列，求数列的前项和可用错位相减法。【变式训练】（2010山东模拟）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记，求数列的前项和.热点考向三裂项相消法求和【考情分析】1.裂项相消法求和是高中数学中的一个重要的数列求和方法，是近年来高考的重点考查内容。2.该类问题背景选择面广，可与等差、等比数列、函数、不等式等知识综合，在知识交

6、汇点处命题。213.多以解答题的形式出现，属于中、高档题目。【例3】（2010湖南高考）给出下面的数表序列：其中表n（n=1,2,3）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为，求和：【审题指导】1.由表1、2、3推出表4，然后归纳得表n；2.由通项拆分为裂项相消求和。【自主解答】【规律方法】裂项相消法求和的几种常见类型（1）（2）（3）（4）（5）若

7、是公差为的等差数列，则（6）（7）,【变式训练】（2010·山东模拟）已知，点在函数的图象上，其中（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项，并证明热点考向四与不等式有关的数列问题【考情分析】1.数列综合问题，特别是数列与不等式的综合问题是高考中经常考查的重要内容。2.该类问题常与函数的单调性、基本不等式、导函数等知识交汇，综合命题。3.多以解答题的形式出现，属于高档题目。【例