晶体的对称性

《晶体的对称性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、晶体的对称性重点：1）基本的对称操作；2）宏观对称类型；3）微观对称类型；1.对称的概念对称就是物体相同部分有规律的重复。此外，对称的图形还必须符合另一个条件，那就是这些相同的部分，通过一定的对称操作(如旋转、反映、镜面)可以发生重复；换句话说也就是相同的部分通过一定的操作彼此可以重合起来，使图形恢复原来的形象。对称操作是指凭借对称要素能够使对称物体中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。而对称要素则是指在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。2.晶体对称性的判定由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体的宏观形态上，晶体表现出对称性。对于

2、外表具有很多晶面的晶体，往往不能直接判别它的对称特征，必须经过测角和投影以后，才可对它的对称规律进行分析研究。通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成32种典型的宏观对称类型。由于在宏观对称类型，全部对称要素相交于一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此称之为点群。该点群中的对称操作中不包括平移。而若对称操作中包括平移，共构成了230中微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以下基本对称操作的组合。3.基本的对称操作1）简单对称操作的变换关系（a）线性变换：和刚体一样，晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，在数学上表示，这些操作就是熟知的线性交换

3、。注意：在讨论晶体问题时，一般应采用斜坐标系，但为方便起见，这里采用直角坐标系，并不会影响结论的正确性。设经过某个操作，把晶体中任一点x变为x´，该操作可以表示为线性变换：x´j=∑ajixi，（i，j=1，2，3）式中x=ix1+jx2+kx3x´=ix1´+jx2´+kx3若采用矩阵表示：x´=Ax其中x’=x=A=x1x3x2θα（x1’,x2’,x3’)（x1,x2,x3)由于操作前后，两点间的距离保持不变，即而所以其中I是单位矩阵，所以得出A为正交矩阵。如令代表矩阵A的行列式，则得到又所以（b）转动x1x3x2θα（x1’,x2’,x3’)（x1,x2,x

4、3)将某一图形绕x1转过θ角，该图形中任一点（x1,x2,x3)变为另一点（x1’,x2’,x3’)，则变换关系如下：x1’=x1x2’=x3’=则正交变换正交矩阵A为（c）中心反演取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3)变为另一点（-x1,-x2,-x3)，则变换关系如下x1’=-x1，x2’=-x2，x3’=-x3则正交变换正交矩阵A为（d）镜像x1x3x2（x1,x2,x3)（x1,x2,-x3)镜像对称操作是将图形的任一点（x1,x2,x3)变为另一点（x1,x2,-x3)，即以x3=0面作为镜面。则变换关系如下：x1’=x1，x2’=

5、x2，x3’=-x3则正交变换正交矩阵A为2）基本的对称操作（a）n度旋转对称轴如果晶体绕某一对称轴旋转θ=2π/n以后自身能重合，则称该轴为n度旋转对称轴。由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下。由于晶格的对称操作并不涉及到晶格的平移，在操作时应至少保持一点不同，所以采用双转轴来推导晶体的旋转对称轴，存在一定的局限性，应采用单转轴推导方法。A1ABB1如图A、O、B是某一晶列上相邻的三个格点，周期为a。如果绕过O点垂直于晶列的转轴顺时针转θ角，A转到A1，晶体自身重合，则A1点必为一格点。再绕过O点的转轴逆时针转θ角，晶体恢复到未转动时的状态，但此时B处

6、格点转到B1点，则B1处必为一格点。可以知道AB//A1B1，平行晶列具有相同的周期，则其中n为正整数或零n=2，

7、cosθ

8、=1，θ=π，2π；n=1，

9、cosθ

10、=1/2，θ=π/3，2π/3，4π/3，5π/3；n=0，

11、cosθ

12、=0，θ=π/2，3π/2OBAA1B1θθ晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。综合上述证明得：12346因为顺时（或逆时）针转动4π/3，3π/2，5π/3分别等价于逆时（或顺时）针转动2π/3，π/2，π/3，所以晶格转动的独立转角为：2π，π，2π/3，π/2，π/3；晶体中不存在5度或6度以上的转轴。上述结果

13、也可以直观的理解为：长方形、正三边形、正方形、正六边形可以在平面内周期性的重复排列，而不留空隙，但正五边形却不能相互紧密排列做重复排列而不留空隙，因此晶体中不存在5度的转轴。对称轴的度数n2346符号▼对称轴度数的符号表晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示（b）n度旋转-反演轴若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经过中心反演（即x→-x，y→-y，z→-z），晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演轴。这样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的度次上加“-”来表示旋转-反演轴。即。12121234566=3+m1234566'1