极限的运算法则(VIII)

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1、第五节极限的运算法则一、无穷小与无穷大二、极限的四则运算法则三、求极限方法举例四、复合函数的极限运算法则五、小结一、无穷小与无穷大1、无穷小定义1：当函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当时为无穷小.例如，注意：(2)无穷小是以0为极限的函数(变量)，它的绝对值可以任意小，但不能与很小的数混淆；(3)零是可以作为无穷小的唯一的数；(1)无穷小与自变量的变化过程相关.2、无穷小的性质定理1：在同一过程中,（1）有限个无穷小的和仍是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；（3）常数与无穷小的乘积是无穷小;（4）有限个无穷小的积仍是无穷小；推论：3、无穷小与函数极限的关系定理

2、2：意义：(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);4、无穷大绝对值无限增大的函数（变量）称为无穷大.定义2：特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意：(1)无穷大是变量，不能与很大的数混淆；(3)无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.不是无穷大．无界.例1、定义3：例2、问题：5、无穷小与无穷大的关系定理3：意义：在同一过程中，（1）无穷大的倒数为无穷小；（2）恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.关于无穷大的讨论，都可归结为关于无穷小的讨论.二、极限的四则运算法则定理4：推论1：常数因子可以提到极限记号外面.推论2：注意：(1)定理4叫极限的四则运算法则，它的作

3、用是化繁为简；(2)使用此法则时要注意使用条件：①左端每个函数的极限要存在；②商的情形要求分母极限不为零.问题：三、求极限方法举例例3、结论：解：例4、(消去零因子法)例5、解：(无穷小因子分出法)无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子、分母，以分出无穷小因子，然后再求极限.结论：例6、解：先变形再求极限.例7、解：例8、极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.注：形式复杂的可考虑先化简或变形后再求极限如：是复合函数；不是复合函数.四、复合函数的极限运

4、算法则定理5(复合函数的极限运算法则）：注意：例5、求下列极限：定理6（极限的不等式性质）：说明：五、小结两个定义；三个定理.1、无穷小与无穷大是相对于过程而言的.(1).无穷小（大）是变量，不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.2.极限的四则运算法则及其推论；3.极限求法：a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.思考与练习1.在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？2

5、.求3.设解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故作业：49页6（偶）补：试确定常数a使解:令则故因此一、填空题:练习题一二、求下列各极限:练习题答案一、填空题:练习题二练习题答案