极限的运算法则(VII)

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1、第五节极限运算法则一、无穷小运算法则二、极限的四则运算法则三、极限的复合运算法则时,有一、无穷小运算法则定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.设函数u在x0的某一去心邻域{x

2、0

3、xx0

4、1}内有界即M0使当0

5、xx0

6、1时有

7、u

8、M又设是当xx0时的无穷小即0存在20使当0

9、xx0

10、2时有

11、

12、/M取min{12}则当0

13、xx0

14、时有

15、u

16、

17、u

18、

19、

20、这说明u也

21、是当xx0时的无穷小证明定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小推论1常数与无穷小的乘积是无穷小例1.求解:利用定理2可知说明:y=0是的渐近线.二、极限的四则运算运算法则(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB推论1如果limf(x)存在而c为常数则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在而n是正整数则lim[f(x)]n=[limf(x)]n定理3如果limf(x)=Alimg(x)=B那么(1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=

22、AB证:(1)因则有(其中为无穷小)于是由定理1可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理,知结论(1)成立.由定理2可知和是无穷小,再由定理1可知是无穷小,从而结论(2)成立.返回数列极限的四则运算法则定理5如果j(x)y(x)而limj(x)=alimy(x)=b那么ab不等式定理4设有数列{xn}和{yn}如果那么Axnn=¥®lim,Bynn=¥®lim,求极限举例讨论提示例1解例2解解例3解例4根据无穷大与无穷小的关系得因为讨论提示当Q(x0)P(x0)0时约去分子分母的公因式(xx0)有理函数的极限?)()(lim0=®xQxPxx当0

23、)(0¹xQ时,)()()()(lim000xQxPxQxPxx=®.当0)(0=xQ且0)(0¹xP时,¥=®)()(lim0xQxPxx.先用x3去除分子及分母然后取极限解先用x3去除分子及分母然后取极限例5解:例6讨论提示例7解所以解当x时分子及分母的极限都不存在故关于商的极限的运算法则不能应用例8是无穷小与有界函数的乘积定理6(复合函数的极限运算法则)设函数yf[g(x)]是由函数yf(u)与函数ug(x)复合而成f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义若g(x)u0(xx0)f(u)A(uu0)且在x0的某去心邻域内g(x)

24、u0则例9解392--=xxy是由uy=与392--=xxu复合而成的.内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂(2)复合函数极限求法设中间变量作业：p-49习题1-51（5），（7），（9），（12），（14）2（1），（3）3（1）