导数的应用-函数的最大值与最小值(I)

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1、经检验，a=1,b=1时，f(x)满足题设的两个条件。例1已知,x∈(0,+∞).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件：（1）f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）f(x)的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由。解：设g(x)=∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数∴g(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数.∴∴解得例3在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？由题意可

2、知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16000cm3解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积令＝0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16000解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

3、解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？S=2πRh+2πR2由V=πR2h，得，则S(R)=2πR+2πR2=+2πR2令+4πR=0解得，R=，从而h====2即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：产量为84时，利润L最大。例5已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格．由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润．解：

4、收入利润令，即，求得唯一的极值点课堂练习1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.DAA4.函数y=2x3－3x2－12x+5在［0，3］上的最小值是___________.5.将正数a分成两部分，使其立方和为最小，这两部分应分成______和___.6.在半

5、径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为___时，它的面积最大。R-15