多元函数微积分学(II)

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1、第八章多元函数微积分学8.1预备知识8.2多元函数的概念8.3偏导数与全微分8.5多元函数的极值与最值8.6二重积分8.4复合函数与隐函数微分法区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域．（2）区域8.1预备知识平面方程一般式：球面方程标准式：练习一练习:球心为（3，4，5）半径为6的球面方程为————。8.2多元函数的概念一、多元函数的定义二、二元函数的极限三、二元函数的连续性一、多元函数的定义定义类似地可定义三元及三元以上函数．函数的两要素是定义域和对应法则要会求函数的定义域1.求下列函数的定义域练习二,则2.设______

2、_.二、二元函数的极限说明：（1）定义中的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．定义.设二元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称二元函数连续.连续,三、二元函数的连续性8.3偏导数与全微分一、偏导数二、全微分一、偏导数（重点）1、解例1求在点处的偏导数.例2求函数的偏导数.解2、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.解例3设求例4.求函数解:的二阶偏导数.二、全微分概念例5.计算

3、函数在点(2,1)处的全微分.解:例6.计算函数的全微分.解:练习三求1、设2、已知求3、求设思考：多元函数连续、可导、可微三者之间的关系？多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导8.4复合函数与隐函数微分法一、链锁法则二、隐函数求导法则一、复合函数求导法则（链式法则）（重点）以上公式中的导数称为全导数.解解例9.设求全导数解:练习四练习四答案隐函数的求导公式二、隐函数的求导法则（重点）解令则解令则1、设,求练习四2、求由方程确定的隐函数的偏导数8.5多元函数的极值与最值一、多元函数的极值与最值二、条件

4、极值（重点）1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值与最值(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函数取得极值的条件仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：练习五3、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据二、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制练习六例1、设某厂生产两产品

5、，产量为总利润为已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，问两种产品各生产多少时，总利润达最大？（3.8，2.2）例2、设企业在雇用名技术人员、名非技术人员时，产品的产量若企业只能雇佣230人，那么该雇佣多少技术人员、多少非技术人员才能使产量最大？（90，140）