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《经济数学 何春江 第10章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、10.1数项级数的概念与性质10.2正项级数及其敛散性10.3任意项级数10.4幂级数10.5函数展开成幂级数第10章无穷级数结束前项和，又叫部分和，记作.当依次取部分和数列：级数(1)的前项相加得到它的10.1.1数项级数的概念定义1设给定数列则表达式称为(数项)无穷级数，简称(数项)级数，记为其中第项称为级数的一般项或通项.时得到一个部分和数列.10.1数项级数的概念与性质数列有极限，即,则称无穷级数收敛,称为此级数的和,且有;定义2当时如果级数的部分和若无极限，则称无穷级数发散.定义3若级
2、数收敛,则称为级数的余项.解:(1)当公比时，此级数为：例1讨论几何级数的收敛性.其前n项和为：所以，于是，当时，此级数发散.当时，此级数为：其前项和为：所以，不存在,即该级数当时也发散.(2)当时，有：,所以该级数收敛.(3)当时，显然有：所以该级数发散.综合以上可得:级数当时收敛,而当时发散.例2判别级数的收敛性解因为所以于是故原级数收敛,且其和.例3判别级数的收敛性.解:因为于是故原级数发散10.1.2数项级数的性质性质1若级数收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛,且其和为
3、;若级数发散,且,则必定发散.性质2如果级数和分别收敛于和例4判别级数的收敛性.解:因为和都是公比的绝对值小于1的等比级数，因此都收敛，由性质2知该级数收敛.性质3增加或去掉级数的有限项，不改变级数的敛散性.但当级数收敛时,其和一般会改变.性质4(级数收敛的必要条件)若级数收敛，则必有.由性质4我们可以得到如下结论：例5判别级数的收敛性.解由例1知级数收敛.所以,由性质3可得:级数收敛.例6判别级数的收敛性.解因为所给级数通项为:,而所以,由性质4可知原级数发散.10.2.1正项级数及其审敛法正
4、项级数:如果级数中的每一项均满足则称该级数为正项级数.定理1正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界.10.2正项级数及其敛散性定理2(比较审敛法)设有两个正项级数和,(1)如果已知级数收敛且有,则级数也收敛.(2)如果已知级数发散且有,则级数也发散.例1判别级数的收敛性.解因为所以为正项级数又因为而为公比的绝对值小于1的几何级数，所以收敛.因此由比较审敛法可知级数收敛例2讨论p-级数的收敛性,其中常数p>0.综合以上可得:p-级数当时是发散的;而当p>1时是收敛的.而后一级数是几何级数
5、,其公比所以这个级数是收敛的.因此由比较审敛法知级数是收敛的.例3判别级数的收敛性.解因为所给级数的通项而级数是发散的调和级数.所以由比较审敛法可得级数收敛.解因为所给级数的通项而级数是p-级数,且所以此级数收敛.例4判定级数的收敛性由比较审敛法可知级数收敛定理3(比较审敛法的极限形式)设级数和,为正项级数,如果,则级数和具有相同的收敛性.解所给级数的通项因为调和级数发散,且有所以由定理3级数收敛.例5判定级数的收敛性解因为所给级数的通项而级数是p-级数,且所以此级数收敛.而因此由定理3可知级数
6、收敛.与例4结果一致.定理４(比值审敛法)设为正项级数，如果则(1)当时，级数收敛；(3)当时，级数可能收敛，也可能发散.(2)当时，级数发散.例7判别级数的收敛性.解因为所给级数为正项级数，其中所以于是，由比值审敛法可的得：级数收敛.例8判别级数的收敛性.解因为所给级数为正项级数，其中所以于是，由比值审敛法可的得：级数收敛.例9判别级数的收敛性.解：因为所给级数为正项级数，其中所以于是，比值审敛法无法判别该级数收敛性.但调和级数发散且有所以由定理3知级数发散.在级数中，如果对于某些可取任意值，
7、此时级数为任意项级数，为了研究任意项级数，我们先来学习一种较简单的级数——交错级数.交错级数是指级数的各项是正负相间的（即一正一负地出现）级数，设，则交错级数的一般形式为10.3任意项级数10.3.1交错级数及其审敛法定理1（莱布尼兹审敛法）(1)；则此交错级数收敛，且其和，其余项的绝对值.如果交错级数满足条件:(2)例1判别级数的收敛性.解所给级数为交错级数，且满足条件（1）（2）由定理1可知此级数收敛.定理2如果级数收敛，则级数一定收敛.对于任意项级数，其中可正可负，为了研究它的收敛性，我们
8、先来研究将其各项取绝对值变为正项级数的收敛性，从而再确定级数的收敛性.10.3.2绝对收敛与条件收敛定义3如果级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛而级数发散，则称级数条件收敛.例如级数为收敛的交错级数，而级数却为发散的级数，因此为条件收敛.例2判定级数的收敛性.为的—级数乘以常数，因此发散.解该级数为交错级数，但由可知例3判定级数是绝对收敛还是条件收敛.解因为，而级数收敛，所以也收敛，故绝对收敛10.4幂级数10.4.1幂级数的概念如果级数的每一项均为定义在区间上的函数，则称级数为函数项级数
