资源描述：
《经济数学 何春江 第7章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、7.1多元函数的概念7.2偏导数7.3全微分7.4多元复合函数与隐函数微分法7.5多元函数极值与最值7.6偏导数在经济学中的应用第7章多元函数微分学结束空间一维:只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度.二维:有两个独立的、相互垂直的运动方向,称为两个自由度.7.1.1空间解析几何简介第7章多元函数微分学ABCDE坐标系一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系过空间定点，作三条互相垂直的数轴，他们都以为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为轴,轴,轴，统称坐标轴。通常把轴和轴配置在水平面上，轴在铅垂方向，他们的指向符合右手法则.三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三
2、个平面统称为坐标平面，分别是三个坐标平面把空间分成八个部分,称为八个卦限.xOy面yOz面zOx面xyz空间任意一点，过点作三个平面分别垂直于轴、轴、轴，它们与轴、轴、轴的交点分别为、、（如图），设三点在三个坐标轴上的坐标依次为，，，于是空间一点就唯一地确定了一个有序数组，通过直角坐标系，就建立了空间点与有序数组之间的一一对应关系取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x,y,z)之间的一一对应关系。1空间两点间的距离设，为空间两点，特别地，点到坐标原点的距离为：选取坐标系如图。则空间两点间的距离公式为：7.1.1.2空间的平面和直线的一般方程由于空间中任一平面都可以用一个三元
3、一次方程来表示，而任一三元一次方程的图形都是一个平面，所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方程。由于空间直线可以看作是两个平面的交线，因此空间中两个平面的方程联立而成的方程组：叫做空间直线的一般方程。7.1.1.3空间曲面和空间曲线的一般方程1．曲面的方程曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹空间曲线可看成是两曲面的交线设和是两个曲面方程2．空间曲线的一般方程称为空间曲线的一般方程即曲线上任何一点都要同时满足两个曲面方程。则方程组7.1.2多元函数的概念例1
4、矩形面积S与长x，宽y有下列依赖关系S=xy(x>0,y>0)，1.引例其中长x和宽y是两个独立的变量，在它们变化范围内，当x，y的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应.为某商品的销售量，为商品的销售价格，为购买商品的人数为设此种商品的销售量与，有关系：其中，，，均为正常数例22.二元函数的定义定义1设有三个变量x，y，z，如果对于变量x，y的变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称z为x，y的二元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，其中x，y称为自变量，z称为函数(或因变量).自变量x，y的变化范围称为函数的定义域.类似地，可以定义
5、三元函数u=f(x,y,z)以及三元以上的函数.二元以及二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围.例3求出二元函数的定义域.解自变量x，y必须满足不等式此即函数定义域.例4求函数z=ln(x+y)的定义域.解函数的定义域为x+y>0.即例5求函数的定义域(a>0,b>0).其图形是矩形内部(包括边界).解函数的定义域由不等式组例6求函数的定义域.解函数的定义域为它的图形是单位圆内部(不包括边界).二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条
6、或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点.全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：(1)其边界是由一条或几条曲线所组成,(2)点集内不包含边界上的点,(3)点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来.点集内包含边界上所有的点.这种平面点集称为平面闭区域.如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.例3，例5的定义域为有界闭区域.例4的定义域为无界区域.例6的定义域为有界区域.如果上述条件(1)，(3)不变，将(2)改为：3.二元函数的几何意义在一定条件下，函数z=
7、f(x,y)的几何图形是一张曲面.而定义域D正是这曲面在平面上的投影.7.1.3二元函数的极限与连续定义2设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有定义(点(x0,y0)可以除外),如果动点P(x,y)以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值f(x,y)趋于一个确定数A，则称A为函数z=f(x,y),当时的极限，记作或对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方式趋于定点P0(x0,y0)，函数都无限接近于A.值，则可以断定函数在该点
