极限的运算法则

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1、定义如果对于任意给定的正数E,变量y在其变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,不等式

2、y

3、>E恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷大量,或称变量y趋于无穷大,记作limy=注意：(1)无穷大是变量,不是很大的数(3)无穷大一定无界,但无界未必无穷大(2)无穷大的函数其极限是不存在定义若函数f(x)在某个极限过程中以零为极限,则称f(x)为该过程中的无穷小量,简称无穷小.注意1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小的性质:定理2.6在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.注意无穷多个无穷小的代数

4、和未必是无穷小.定理2.7有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2.8证3、无穷大量与无穷小量的关系意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.无穷小量(0除外)的倒数是无穷大量(类似地,无穷大量的倒数是无穷小量).4.无穷小量阶的比较例如,但它们趋于零的快慢程度不同,我们由它们的比值的极限来判断,称为无穷小量阶的比较两个无穷小量之比,称为“”型不定式当x0时,3x,x2,sinx,都是无穷小,不可比比值的极限不同,反映了趋近于零的“快慢”程度不同.=0=1观察各极限:x2

5、比3x要快得多sinx与x大致相同不存在Sinx与要慢定义:例如，例1证明:当时,～证～注:等价不是等同~=o()=+o()类似地，可以作两个无穷大量阶的比较,两个无穷大量之比也是不定式称为“”型不定式.其他尚有一些型的型的不定式计算.不定式，也可通过来,称是较低阶的无穷大,称是较高阶的无穷大,称与是同阶无穷大定义:设,是同一过程中的两个无穷大(1)如果特别,当C=1时,称与是等价无穷大(2)如果(3)如果2.5极限的运算法则根据极限的定义,对给定的函数ƒ(x)，只能验证某个常数是否为它的极限,而不能求它的

6、极限。为了解决极限的计算问题，下面介绍极限的运算法则;并利用这些法则和一些已知结果来求一些函数的极限。定理:设limf(x)=A,limg(x)=B,则(1)lim[f(x)g(x)]=AB(2)lim[f(x)g(x)]=AB(3)(其中B0)[证]∵limf(x)=A,limg(x)=Bf(x)=A+,g(x)=B+.其中0,0(1)[f(x)g(x)](AB)=[f(x)A][g(x)B]=0lim[f(x)g(x)]=AB(2)[f(x)g(x)]AB=(A+)(B+)AB=A

7、+B+0lim[f(x)g(x)]=AB(3)∵BA0,又∵0>0,在变量的变化过程中,总有那么一个时刻,在那个时刻以后,

8、

9、<成立

10、B+

11、≥

12、B

13、

14、

15、

16、B+

17、≥

18、B

19、

20、

21、>

22、B

23、则

24、B(B+)

25、即有界若则有注运算法则,有相应的结论.及x→∞时函数极限的四则例如,对于数列极限,对于数列极限有以下结论:数列是一种特殊的函数,故此结论可由定理1直接得出.即常数因子可以提到极限记号外面推论1如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]=climf(x)推论2如果limf(x)存在,而

26、n是正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n(极限运算的线性性质)以上运算法则对有限个函数成立.——幂的极限等于极限的幂求解例1极限运算的线性性质幂的极限等于极限的幂解商的极限等于极限的商例2求小结:1.设f(x)=a0xn+a1xn1+...+an,则有=a0x0n+a1x0n1+...+an=f(x0)2.设,且Q(x0)0,则有=f(x0)若Q(x0)=0,则商的法则不能应用多项式有理分式函数例3求解:=0商的法则不能用又=30=0由无穷小与无穷大的关系,得例4求解:x1时,分子,分母的极限都是0(先约去不为零的无穷小因

27、子x1后再求极限)消去零因子法例5求解:x时,分子,分母的极限都是无穷大先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限无穷小因子分出法以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限题1求解:先用x3去除分子分母,然后求极限=02求解:应用例6的结果并根据无穷小与无穷大的关系,即得一般:当a00,b00,m和n为非负整数时,有例6.解:这是两个无穷大量之差的极限问题.无穷大量的和,差不一定是无穷大量.这类问题,称为“”型.通分例7求解：原式=0(有理化法)题求解例8求解:n时,是无限个无穷小之和先变形再求极限例9求解

28、:当x时,为无穷小而sinx是有界函数例10设,求解:x=0是函数的分段点=1=1左右极限存在且相等求极限的几种方法1