2018_2019学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.2空间向量的应用3.2.3空间的角的计算讲义

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1、3．2.3　空间的角的计算山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？提示：设异面直线AC与BD所成的角为θ，则cosθ＝

2、cos〈，〉

3、.问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？提示：设地面的法向量为n，则sinα＝

4、cos〈，n〉

5、.问题3：如何求水平地面与斜坡面所成的二面角β？提示：cosβ＝cos

6、〈，〉．异面直线所成的角设两条异面直线a，b所成的角为θ，它们的方向向量分别为a、b.则cosθ＝直线与平面所成的角设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为a，平面的法向量为b，则sinθ＝二面角的平面角设二面角α—l—β的锐二面角大小为θ，且两个半平面的法向量分别为a，b，则cosθ＝对直线(或斜线)与平面所成角的几点认识(1)斜线与平面的夹角范围是；而直线与平面的夹角范围是；(2)设在平面α内的射影为，且直线AB与平面α的夹角为θ，则

7、

8、＝

9、

10、·cosθ；(3)平面α的法向量n与所成的锐角θ1的余角θ就是直线AB与平面α所成的角．利用空间

11、向量求异面直线所成的角　　[例1]　如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成的角的余弦值的大小．[思路点拨]　→→，坐标→cos〈，〉→.[精解详析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝－＝(－，1，－)，＝－＝(，－1，－)．∴cos〈，〉＝＝＝－.异面直线A1B与AO1所成的角的余弦值为.[一点通]求异面直线所成的角的方法及关注点：(

12、1)方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角转化为两直线的方向向量所成的角，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线所成的角应为两向量夹角的补角．(2)关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算．1.如图所示，已知在四面体ABCD中，O是BD的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.(1)求证：AO⊥平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成的角的余弦值．解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，C(0，，0)，A(0,0,1)，(1)证明：＝(0

13、,0,1)，＝(－2,0,0)，＝(－1，，0)．∵·＝0，·＝0，∴OA⊥BD，OA⊥BC.又BD∩BC＝B，∴AO⊥平面BCD.(2)＝(－1,0,1)，＝(－1，－，0)．∴cos〈，〉＝＝，∴异面直线AB与CD所成的角的余弦值为.2.已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都是1，且∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求直线AC1与AC所成角的余弦值．解：＝＋＋，＝＋，

14、

15、2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×cos60°×3＝6，

16、

17、2＝2＋2＋2·＝1＋1＋1＝3，∴

18、

19、＝，

20、

21、＝.·＝(＋)·(＋

22、＋)＝2＋·＋·＋·＋2＋·＝1＋＋＋＋1＋＝4，∴cos〈，〉＝＝＝，即AC1与AC所成角的余弦值为.求线面角　　[例2]　(湖南高考)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．[思路点拨]　以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．(1)求出和，证明·＝0；(2)求出直线B1C1的方向向量与平面ACD1的法向量．[精解详析]　(1)证明：易知，AB，AD，AA

23、1两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0)．因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)．因为·＝－3＋3＋0＝0，所以⊥，即AC⊥B1D.(2)由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,

24、0)．设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x＝1，则n＝(1，－，)．设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则sin