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《22.2.5 一元二次方程根与系数的关系》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第二十二章一元二次方程22.2.5根与系数关系数学活动一1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？1.填表，观察、猜想合作帮助交流展示数学活动二方程x1,,x2x1+x2x1.x2x2-2x+1=01,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+3x-4=01,-4-3-4问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律。根与系数关系如果关于x的方程的两根是,,则:知识要点根
2、与系数关系的应用例1：不解方程，求出方程两根之和与两根之积：（1）x2+3x-5=0(2)2x2-3x-5=0解：（1）设两根为x1,x2,由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得：（2）方程的两边同时除以2，得设方程的两根分别为x1和x2得，例题口答下列方程的两根之和与两根之积。1.2.3.4.5.随堂练习根与系数关系如果关于x的方程的两根是,,则:如果方程二次项系数不为1呢?数学活动三方程x1,,x2x1,+x2x1.x22x2-3x-2=03x2-4x+1=0问题：上面发现的结论在
3、这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；②ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律：探究（1）x1+x2=（2）x1x2=猜想结论合作帮助交流展示数学活动四学习主题探究所得结论的证明设x1、x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，证明：x1+x2=x1x2=x1+x2=x1x2=利用求根公式。证明过程利用求根公式证明：结论归纳，语言叙述。任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+X2=,X1·X
4、2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0他1540年生于法国的普瓦图。1603年12月13日卒于巴黎。年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码。韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）。 韦达从事数学研究只是出于爱好，然而他
5、却完成了代数和三角学方面的巨著。他的《应用于三角形的数学定律》（1579年）是韦达最早的数学专著之一，可能是西欧第一部论述6种三角形函数解平面和球面三角形方法的系统著作。他被称为现代代数符号之父。韦达还专门写了一篇论文"截角术"，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS(nx)表示成COS(x)的函数并给出当n≤11等于任意正整数的倍角表达式了.数学知识介绍韦达（Viete，Francois，seigneurdeLaBigotier
6、e）是法国十六世纪最有影响的数学家之一。第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进。根与系数的关系的应用例2、不解方程，求下列方程两根的和与积.（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2（4）3x2-1=0一、直接运用根与系数的关系说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-随堂练习在使用根
7、与系数的关系时，应注意：⑴要先化成一般形式，并找出a,b,c；⑵确认a≠0，b2-4ac≥0；（3）在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写.知识源于悟结论特例返回例3、利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的：（1）平方和；（2）倒数和解：设方程的两个根是x1x2，那么返回例题二、求关于两根的对称式或代数式的值设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.随堂练习变式练习： 设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。（2）（1）（３）（x1-x2
8、）2随堂练习关于两根几种常见的求值小组合作，方法交流，把所求关系式转化为x1+x2、x1x2的形式。例4：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求方程的另一个根及K的值.交流展示数学活动五解：设方程的另一个根为x1，那么三、求方程中的待定系数例题已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解这方程，得k=-2由根与系数关系，得x1●2＝3k即2x1
