《近代幾何的發展丘成桐香港中文大學數學科學研究所》

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1、幾何三十載丘成桐香港中文大學數學科學研究所一個質點在空間的移動，可以由映射x:[0,T]R3dx來描述。它的速度向量是，它的動能是dtT21dxE(x)。2dt0給定空間中兩點p和q，我們考慮所有連接p和q的質點路徑，其中動能最小的路徑就是連結p和q的直線。2假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積<>x，我們還是可以定義動能1T2E(x)dxdt。dt20在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，ij可以寫作一個張量gij(x)dxdx。i,j而上述的動能可以寫成ij1TdxdxE(x)gdt。ij20dtdt研究這種內積的幾何學叫做

2、黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。3在一般的黎曼幾何裏，兩點p和q之間可以有超過一條的路徑使得E(x)是極短的。事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。一般來說，很多測地線不是p和q間最短的線，它們只是局部最短的，即是說在[0,T]的任意一個小的線段上是極短的。在給定p和q時，我們考慮一個包括所有曲線的空間：這個空間的拓樸p性,q質可x以:由0,所1有的從Mp,到x(0q)的測p地,線x(和1)其上q的Morseindex指標來決定（Morse指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由p,q的拓樸可以推導空間本身的

3、拓樸，這是Bott在古典群上的工作。4在上述的討論裏，假如存在勢能(potential)V:MR則能量可以定義為1T2TE(x)dxdtV(x)dt。20dt0我們也可以類似的討論。我們也可以讓p=q，並且不固定p的選取，這時可以得到所有從圓到M上的所有映射的空間，這個空間叫做(M)。在研究粒子在固定空間M的量子化時，我們考慮Feyman積分exp(E(x))x(M)5由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在(M)的積分可以用Gauss積分的方法得出它的值，它與Laplace算子的行列式有關。在Rn，Laplace算子的定義是222

4、222xxx12n這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。它是幾何、拓樸和數學物理的一個重要橋樑。在非線性方程的研究中，我們計算線性化算子。往往發現它是某種幾何的Laplace算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。6Laplace算子的譜在近代幾何起着極重要的作用。它們的乘積，通過重整化後就是Laplacian的行列式。現在來看Laplace算子的古典的處理方法。我們來看一維空間的情形f(x)y2f(xy)f(x)yf(x)22f(x)yf(xy)f(x)yf(x)2f(xy)f(xy)f(x)f(x)y2所以f(x)

5、222其中xxxy,xyxx，當y很小時，f可以看作f的平均值減f的值得出來的算子。7一般來說，Laplace算子可以看作將函數不斷採取平均值的一個算子。一個古典問題：在一個領域的邊界上給定一個函數f，我們希望將f延12拓到裏，使得E(f)f極小，這叫Dirichlet邊值問題，2這樣得到的f叫調和函數，它滿足f=0。8一個構造調和函數的方法為Perron方法，就是不斷的取函數的局部平均值，直至它變為調和函數為止。以後發現一個更好的辦法是解熱方程：我們任意延拓f到領域中，使得我們有給定的在邊界上的值，然後解以下的熱方程hht0t

6、hft0hfonforallt0此處為Laplace算子。這方程描述在時間為零時，熱的分佈由f給出，而到t>0，則由上述方程的解給出。9當時間趨於無窮時，此問題的解會趨向於一個調和函數，並且保持f的邊值，因而解決了Dirichlet邊值問題。這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式，因而給出Hodge理論一個簡單的證明。這個證明也可以應用於Atiyah-Singer指標定理的局部證明。Atiyah和Singer研究一階橢圓線性微分算子D的解空間的維數。這個算子有對偶算子D*，我們也可考慮它的解空間的

7、維數，兩個維數的差叫做算子D的指標。10我們考慮算子exp(-tD*D)–exp(-tDD*)的迹(trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在0