分析10-偏微方程数值解法

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1、第十章偏微分方程数值解法10-1第十章偏微分方程数值解法第十章目录§1差分方法的基本概念1.1偏微分方程的定解问题1.2差分方法的基本概念§2椭圆型方程第一边值的差分方法2.1差分格式的建立2.2差分格式解的存在唯一性§3抛物型方程的差分解法及其稳定性3.1差分格式的建立3.2差分格式的稳定性§4双曲型方程的差分解法4.1几种简单的差分格式4.2差分格式的收敛性与稳定性2第十章偏微分方程数值解法补充知识“高数”中接触了一些简单偏微分，也接触了简单偏微分方程，如：其中：1.2.满足：3第十章偏微分方程数值解法补充知识（续1）3.2sin(x+2y-3z)=x+2y-3

2、z满足：4.满足：5.满足：6.满足：上面是已知函数，，验证满足等式，反过来，将等式视为方程，则是求解方程，得到解函数。4第十章偏微分方程数值解法因此偏微分方程：1.含偏微分的等式，2.求解偏微分方程、求含多个自变量的函数3.带有初值、边界条件。常微分方程的求解已很困难，通过分门别类研究，能求得一些特殊类型方程的解（只含一个变量），即便是一阶方程，也很难求出解析解表达式，也因此，在上一章我们研究了一阶微分方程的数值解法。补充知识（续2）5第十章偏微分方程数值解法§1差分方法的基本概念要求解偏微分方程比求解常微分方程更难，因此寻求偏微分方程的数值解更显重要，实际上，绝

3、大部分偏微分方程不可能求到解析函数解，基本上都是数值解法。一般来说，偏微分方程从实际问题抽出后，多是下列几种类型:（1）泊阿松方程（Poisson），又称为椭圆型方程：：自变量的变化区域，有界区域。：的边界，分段光滑曲线。1.偏微分方程定解问题当称为拉普拉斯方程（Laplace）或调和方程，例如满足：6第十章偏微分方程数值解法相应第一边值条件：第二、第三边值条件：为边界的外法线方向，为第二边界条件，为第三边界条件。各种物理性质的定长问题（不随时间变化过程），都可用椭圆型方程描述。如带有稳定热源或内部无热源的稳定场的温度分布，不可压缩流体的稳定克旋流动及静电场

4、的电热等均满足上述方程。椭圆型方程（续）7第十章偏微分方程数值解法（2）热传导方程（抛物型）相应有：柯西（Cauchy）初值条件：初边值条件为：第一边值条件：第二边值条件：8第十章偏微分方程数值解法抛物型方程（续）第三边值条件为：其中在热传导过程的研究中，气体的扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题，都可用上述方程来描述。9第十章偏微分方程数值解法（3）波动方程（双曲型）最简单形式为线性双曲方程：其初边值条件为：边值条件同热传导方程。物理中常见的一维振动及各类波动问题，均可用波动方程描述。10第十章偏微分方程数值解法差分方法的基本概念如果偏微分方程定解问

5、题的解存在，唯一，并且连续依赖于定解数据（即出现在方程和定解条件中的已知函数），则此定解问题是适定的。可以证明，上面所举各种定解问题都是适定的。2.差分方法的基本概念：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。11第十章偏微分方程数值解法差分

6、方法的基本概念（续1）所以，偏微分方程数值解法，实际上是通过网格及差分格式将偏微分方程定解问题离散化后求定义域上有限离散点（网格点）对应函数值u(x,y)的近似值（差分值），体现在常微分方程数值解法中是求定义区间上离散点xi对应y(xi)的近似值yi。因此，用差分方法求解偏微分方程定解问题，一般需解决以下问题：（1）选取网格：对定义区域如何划分？常用的有矩形、菱形等格式。（2）对偏微分方程及定解条件，选择充分近似，列出差分格式，化偏微分方程为差分方程组（线性代数方程组）。12第十章偏微分方程数值解法差分方法的基本概念（续2）如可用差商（差分）代替导数：对偏导数同样有

7、：一般还可以得出：等等；13第十章偏微分方程数值解法（3）求解充分方程（解的存在性与唯一性）差分方法的基本概念（续3）（4）讨论充分方程的解是否可作为偏微分方程的解的近似值（收敛性及误差估计）。按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，为了帮助理论，下面先简单介绍在常微分方程中近值问题数值解法；二阶线性微分方程第一边值问题：14第十章偏微分方程数值解法二阶线性微分方程第一边值问题（1）差分方程的建立：将[a,b]分为n个相等的小区间，要将离散化，建立充分方程，即要用：则在内节点xi处，方程化为：x1,…,xn-1称为内节点，x0,xn称为边界点。15第十章偏微