厦门大学网络教育线性代数复习题B(含答案)

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1、厦门大学网络教育2011-2012学年第二学期《线性代数》复习题B一、选择题（每小题3分，共18分）1．设行列式，则（）。A．；B．；C．；D．。2．已知为阶非零方阵，为阶单位矩阵，若，则（）。A．不可逆，不可逆；B．不可逆，可逆；C．可逆，可逆；D．不可逆，可逆。3．向量，，线性无关，则下列向量组线性相关的是（）。A．，，；B．，，；C．，，；D．，，。4．若3阶方阵及，都不可逆，则的特征多项式中常数项为（）。A．；B．；C．；D．。5．下列命题错误的是（）。A．相似矩阵有相同的特征多项式；B．个维向量必线性相关；C．矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件

2、是；D．若矩阵的秩是，并且存在阶子式，则其所有的阶子式全为。6．下列命题正确的是（）。A．若，为同阶方阵，且，则也是对称阵；9/9B．若，且，其中为零矩阵，则；C．齐次线性方程组（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是；D．设非齐次线性方程组有无穷多解，则相应的齐次线性方程组有唯一解。二、填空题(每小题3分,共18分)7．设矩阵，，其中，，，，均为四维列向量，且已知行列式，，则行列式。8．若，当_______时，。9．与正交，则。10．已知3阶矩阵的特征值为，，，则矩阵（为三阶单位矩阵）的特征值为。11．设为可逆矩阵，且，则。12．若，均可逆，，则可逆，且

3、。三、计算题(共64分)13．行列式计算（10分）求行列式，其中，是阶行列式，主对角线上的元素为，其余元素为。14．求解矩阵方程（10分）9/9设，，求。15．线性方程组的计算（12分）设有线性方程组，问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无限多解时求其通解。16．向量组计算（10分）已知向量组，，，，，试求，，，，的一个极大线性无关组，并把其余向量用此极大线性无关组线性表示。17．设二次型可通过正交变换化成标准型，求参数及使用的正交变换（20分）说明：（1）先将二次型表示成矩阵形式（2分）；（2）求出的值（5分）；

4、（3）求出对应于特征值的特征向量（6分）；（4）将这些特征向量正交单位化（3分）；（5）最后写出所作的正交变换（4分）。请按上述五步顺利给出解题过程。9/9一、选择题（每小题3分，共18分）1．B。解：由行列式的性质可知。2．C。解：由于，，因此，均可逆，故选C。3．C．解：显然有，所以，，线性相关，故选C。4．A。解：根据定理5.1知，设是的特征值，则必有，于是不可逆，又及，都不可逆，那么，，不可逆，知的特征值为，，，而的特征多项式中常数项的值等于。5．D。解：A．正确，相似矩阵有相同的特征多项式（§5.2性质5）。B．正确，个维向量必线性相关（定

5、理2.5）。C．正确，矩阵是阶正交矩阵的充分必要条件是，这是正交矩阵的定义。D．错误，矩阵的秩是，若其所有的阶子式全为，则的任何阶子式都为，这与矩阵的秩为矛盾（注意矩阵的秩是，说明其存在一个阶非零子式）。6．A。解：A．正确，若，为同阶方阵，且，则，则也是对称矩阵。B．错误，反例：，记，但。注意矩阵乘法不满足消去律，当，只有可逆时，才有。C．错误，齐次线性方程（是矩阵）有唯一解的充分必要条件是9/9。D．错误，非齐次线性方程组有无穷多解，则的秩小于的列秩，即的秩小于方程未知数的个数，是相应的齐次线性方程组有无穷多解的充要条件。二、填空题(每小题3分,

6、共18分)7．解：。8．解：，又，故。9．因为，正交，所以，则。10．解：由，可知是的特征值，于是由的特征值，，可知的特征值为，，。11．解：为可逆矩阵，则可写成一系列初等矩阵的乘积，由左乘得到，相当于可通过初等行变换把变成，由于初等变换不改变矩阵的秩，故，而，所以。12．解：由且、可逆可知，可逆，设矩阵，使得，即，则，故；，则；，故，；，则，故所以。三、计算题(共64分)13．解：9/9（将各列分别加到第1列得）再将第一行乘以分别加到其余各行，得14．解：由，可得。由于9/9，而，所以可逆，则。～～因此。15．解：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶

7、梯形矩阵，有。（1）当且时，，方程组有唯一解。（2）当时，，，方程组无解。（3）当时，，方程组有无限个解，这时，，由此便得通解（可任意取值）即，()。9/916．解：将向量，，，，看成一个矩阵的列向量组，得矩阵对矩阵仅施以初等行变换，把化为阶梯形矩阵因此向量组，，是向量组，，，，的一个极大线性无关组，且，。17．解：（1）二次型，其中，。由题意知的特征值为,,。将代入，得，得，于是。（3）下面求特征向量：当时，解得方程组的基础解系为。当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为。当时，解方程组，可得线性方程组的基础解系为。9/9容易看出，，两两正交。（

8、4）下面将，，单位化，，。（5）取。令，其中所作的正交线性变换为，即9/9