专题8.8 立体几何中的向量方法(Ⅱ)（教学案）—求空间角与距离-2014年高考数学（理）一轮复习精品资料（解析版）

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1、直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝

2、cosθ

3、＝.3．求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．【方法技巧】(1)利用向量求空间角，一定要注意将向量夹角与所求角区别开来，在将向量夹角转化为各空间角时注

4、意空间各角的取值范围，异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(2)利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!42联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角

5、的难点、易错点．【高频考点突破】考点一、异面直线所成的角例1、(2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.【方法技巧】利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【变式探究】如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABC

6、D互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a.学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!42联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1.考点二、直线与平面所成角例2、(2012·大纲全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥

7、底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!42联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(1)证明：PC⊥平面BED；[来源:Zxxk.Com](2)设二面角APBC为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．令x＝b，则m＝(b，，0)．学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代

8、理，有意者，敬请联系!42联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898【方法技巧】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角【变式探究】如图，已知PA⊥平面ABC，且PA＝，等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE

9、⊥PC于E.(1)求证：PC⊥平面ADE；学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!42联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(2)求直线AB与平面ADE所成角的大小．考点三、二面角例3、(2012·江西高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.学科网学易学生平台，专为高三考生打造，学易，让学习更容易

10、！学易平台，诚邀各地代理，有意者，敬请联系!42联系地址：北京市房山区星城北里综合办公楼（学科网）邮政编码：102413电话：010-58425255/6/7传真：010-89313898(1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥