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1、理解教材新知把握热点考向应用创新演练第三章考点一考点二3.2第二课时考点三第二课时 空间向量与垂直关系直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置．因此，可用向量方法解决线面垂直关系的判断及证明．问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？提示：垂直．问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？提示：垂直．证明垂直关系的向量方法线线垂直线面垂直面面垂直证明两直线的方向向量垂直证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量证明两个平面的法向量垂直用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的
2、关系，因此求直线的方向向量及平面的法向量是解题关键．[例1]在棱长为a的正方体OABC－O1A1B1C1中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE＝BF，求证：A1F⊥C1E.[一点通]利用向量法证明线线垂直往往转化为证明直线的方向向量垂直，即证明它们的方向向量的数量积为0.证明的关键是建立恰当的空间直角坐标系，正确地表示出点的坐标进而求直线的方向向量．1．设直线l1的方向向量为a＝(2,1，－2)，直线l2的方向向量为b＝(2,2，m)，若l1⊥l2，则m＝()A．1B．－2C．－3D．3解析：l1⊥l2⇔a⊥b，∴2×2＋1×2＋(－2)×m＝0，∴m＝3.
3、答案：D2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AC的中点.证明：(1)BD1⊥AC；(2)BD1⊥EB1.[例2]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.[一点通]法一选基底，将相关向量用基底表示出来，然后利用向量的计算来证明．法二、法三建立空间直角坐标系，利用坐标将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．3．已知直线l与平面α垂直，直线的一个方向向量为u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________.解析：∵l⊥α，v∥α，∴u⊥v.∴(1
4、,3，z)·(3，－2,1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.答案：34.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.同理可证，A1O⊥OG.又∵OG∩BD＝O，∴A1O⊥平面GBD.法二：如图，取D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，[一点通]证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两
5、个平面的法向量互相垂直．5．在正棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明：法一：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．令PA＝PB＝PC＝3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0，1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)，6．正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.1．用向量法
6、证明线面垂直的方法与步骤2．利用空间向量证明面面垂直，通常可以有两个途径，一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直，进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．点击下图进入“应用创新演练”
