《高数课件同济书》PPT课件

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1、第七节初等函数的连续性与连续函数的性质一、连续函数的运算性质二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质第一章函数与极限一、连续函数的运算性质１．四则运算性质定理1若函数f(x),g(x)在点x0皆连续，那么函数在点x0也是连续的．利用连续函数的定义及函数极限的四则运算性质很容易得到例1由于函数y=sinx，y=cosx在整个实数范围内都是连续的，因此三角函数在其定义域内都是连续的．所有的三角函数在其定义域内都是连续的.2．反函数的连续性定理2若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加且连续,那么它的反函数x=f-1(y)在区间

2、Iy上单调增加且连续，其中Iy={y

3、y=f(x),x∈Ix}.由此我们有下面的(或单调减少)(或单调减少)例2由于函数y=sinx在内单调增加且连续，由定理2，它的反函数y=arcsinx在闭区间[-1,1]上也是单调增加且连续的．以此类推,所有的反三角函数在其定义域内都是连续的.由于对任意的x0，，即指数函数在定义域内是连续的，同时，它也是单调的．因此，由定理2，它的反函数在内也是连续的且单调的．所有的指数函数和对数函数在其定义域内都是连续的.3．复合函数的连续性定理3(1)设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函

4、数u=g(x)复合而成,且在x0的某邻域U(x0)内有定义．(2)函数u=g(x)在点x0连续,(3)函数y=f(u)在点u0连续，其中g(x0)=u0.则复合函数y=f[g(x)]在点x0也连续.即有例3证函数y=sin(x+1),y=cos[(x-2)2]在实数范围内都是连续的．证明函数y=sin(x+1)是由y=sinu和u=x+1复合而成的．函数y=cos[(x-2)2]是由y=cosu和u=v2及v=x-2复合而成的．由复合函数的连续性，它们都是连续的.定理3的简单表述对复合函数f[g(x)]，若g在x0点连续，f在

5、点u0=g(x0)连续，则有f连续g连续该如何利用前面的结论来说明幂函数的连续性？例4幂函数y=xμ在(0,+∞)是连续的．y=xμ=eμlnx由指数函数y=eu及对数函数u=μlnx复合而成.证明而y=eu及u=μlnx都是连续的,由定理3,幂函数y=xμ在区间(0,+∞)内连续．讨论求极限能利用定理3吗？该函数由lnu和复合而成，lnu是连续的，但在x=0处是不连续的，因而不能直接使用定理3．下面的定理4是定理3的推广.定理4设有复合函数y=f[g(x)]，函数g(x)在x0点的某去心邻域内有定义，且，而函数f在点y0连续

6、．则有定理4的简单表述您看出来定理3与定理4的区别了吗?观察两定理的简述中的式子,您看它们有什么特点?您有何考虑?它们的区别在于对内层函数的要求不同,定理3中要求内层函数连续,而定理4中仅要求内层函数极限存在.从两个式子可以看出若函数连续,则极限号可以移到函数符号里面.当“外”函数连续时，有f连续于是g不一定连续f连续g连续解分析函数是如何复合的,它们都连续吗?例5求显然该函数是由两个连续函数与复合而成的，这里用的是哪个定理？为什么？因此注把定理4中的换为，而其他不变，结论仍成立，例6求并求分析第一个式子分母中的x应如何处理?

7、第二题与第一题之间有何联系？解对令ax-1=t，则x=loga(1+t),并且x→0时t→0,于是这里用的是哪个定理？为什么？解分析该式可通过适当的变形将其和第二个重要极限联系起来.例7求是由复合而得．因此这里用的是哪个定理？为什么？一般地，对形如的函数（通常称为幂指函数），如果那么其中都是自变量的同一变化过程中的极限．二、初等函数的连续性基本初等函数在其定义域内都是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．例如上面的例5，求，根据复合函数的连续性，我们知道在点是连续的，而且，因此有利用连续的定义，若y=f(x)在x0点连

8、续，如果要求函数y=f(x)在x→x0时的极限，那么由,就把求极限的问题就转化为求函数值的问题了．例9的整个解题过程,可以认为分两步,您看是哪两步?通过本题的解法,有何体会?解=第一步通过变形“去掉”可去间断点;第二步对连续函数求极限.例9求分析函数在x=0点连续吗？是否可以将其转化为求连续函数的极限？三、闭区间上连续函数的性质１．有界性与最大值、最小值定理从这个图形可以看到,在闭区间上连续的函数是有界的,而且能够取到最大和最小值，这就是定理5.定理1中的“闭区间”,“连续”两个条件能不能缺少?缺一不可!定理1在闭区间上连续的

9、函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值.再如，函数该函数在x=1处不连续,在定义区间[0,2]上虽有界,但取不到最大值和最小值.定理1在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值.注：若f(x0)=0，称x0为函数f(x)的零点.