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《2008（1）期末试卷A卷解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2008级《微积分A》第一学期期末参考答案2009.1.16一、每小题3分，共30分.4121.e；2.arctanx+xlnx−x+C;2xtan(2x)23.x=,1第一类；4.y′=10[tan(2x)+2xsec2(x)]ln10;1165.y=;6.;x152dy17.=;8.ln;223dxt329.a=,1b=−;10.−e.22二、（9分）解：对应齐次方程的特征方程：r+1=0………….2分对应齐次方程的特征根：r=−i,r=i………….3分12对应齐次方程的通解：Y(x)=Ccosx+Csinx…
2、……….5分12由于w=0不是对应齐次方程的特征根，故非齐次方程的特解可设为：2y=ax+bx+c，………….7分y′=2ax+b,y′′=2a,22代入原方程，得2a+ax+bx+c=x+x比较x的同次幂系数，得a=,1b=,12a+c=0，⇒c=−22故原方程的特解为：y=x+x−2………….8分2故原方程的通解为：y=Ccosx+Csinx+x+x−2….9分121三、（9分）解：1.连续性：f)0(=,0f0(+)=limf(x)=0=f0(−)x→0+故f(x)在x=0处连续。………….4分2.可导性：由
3、于f(x)在x=0处连续，所以xtxf+′)0(=limf′(x)=lim(∫tedt)′=limxe=0………….6分+++x→0x→00x→02f′)0(=limf′(x)=lim(x)′=lim2x=0………….8分−−−−x→0x→0x→0f′)0(=f′0(),所以f(x)在x=0处可导，且f′)0(=.0………….9分+−22−x四、（10分）证明：法1：先证：1−x≤e(x>)02−x2设f(x)=e−1+x，则f)0(=0………….2分22−x−xf′(x)=−2xe+2x=2x1(−e)………….
4、3分2−x由于x>0时，e<1，所以当x>0时，f′(x)>0当x>0时,f(x)单增，⇒x>0时，有f(x)>.022−x即当x≥0时，有1−x≤e.………….5分−x21再证：e≤(x>)021+x22x亦即证：1+x≤e2x2设g(x)=e−1−x，则g)0(=0………….7分22xxg′(x)=2xe−2x=2x(e−)1≥0………….8分当x>0时,g(x)单增，⇒x>0时，有g(x)>.0−x21即当x≥0时，有e≤.21+x综合1，2，结论得证。………….10分θxxe2法2：由泰勒公式e=1+x+x
5、0(<θ<)1!22θxe2x由于当x≥0时，x≥0，所以e≥1+x)1(!2x22−x22由)1(可得：e≥1+x)2(，e≥1−x)3(−x21由)2(可得：e≤)4(21+x综合)3(、)4(，结论得证a+202a+2五、（10分）证明：（1）∫af(t)dt=∫af(t)dt+∫0f(t)dt+∫2f(t)dt………….2分a+2a又∫f(t)dt做换元，令u=t−2∫f(u+)2du20aaf(u+)2=f(u)∫f(u)du=∫f(t)dt………….4分00a+202a从而∫af(t)dt=∫af(t)
6、dt+∫0f(t)dt+∫0f(t)dt2=∫f(t)dt………….5分0xt++22（2）F(x+)2=∫∫2[f(t)−f(s)ds]dt………….7分0txt+2x++22t=∫∫2[f(t)−f(s)ds]dt+∫∫2[f(t)−f(s)ds]dt0txtx++22xt+2=F(x)+2∫∫f(t)dt−[∫f(s)ds]dtxxt2x+22=F(x)+2∫∫f(t)dt−[∫f(s)ds]dt（由（1）的结论）0x022x+2=F(x)+2∫∫f(t)dt−∫f(s)ds⋅dt00x=F(x)3所以F(x
7、)是周期为2的周期函数。………….10分y2六、（10分）解：（1）画草图，解交点)1,1(x=y2)1,1(x=2−y1224A=∫2(−y−y)dy=)0,2(x03122148（2）V=π∫2(−y)dy−π∫ydy=π0032七、（8分）解：f′(x)=(x−1)(x−)2，令f′(x)=,0得驻点：x1=,1x2=2，列表x12(−∞)1,)2,1(,2(+∞)—0+0+f′(x)极小值非极值f(x)↓↑↑1217极小值：f)1(=∫(t−1)(t−)2dt=−0122又f′′(x)=(x−)2+(2x−
8、1)(x−)2=(x−2)(3x−)44令f′′(x)=0，得x=,2x=3列表x2(−∞,4)4(4)2,,2(+∞)333+0—0+f′′(x)拐点拐点f(x)UIU4所以拐点横坐标为：x=,2x=.34八、（8分）解：打开降落伞时刻记为t=0时刻，由牛顿第二定律有dvmgm=mg−v，dt16v)0(=176dvg方程化简得：=−(v−16)dt16g
