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《量子力学(曾谨言)一：波函数与薛定谔方程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Chap1波函数与薛定谔方程§1.1波函数与薛定谔方程§1.1波函数的统计诠释1.1.1实物粒子波动性（微观粒子的波粒二相性）Eν=h物质波m增大λ减小hλ=p1.1.2波粒二相性分析（1）二种错误解释1.波由粒子组成——波动性事由于大量电子分布于空间而形成的疏密波.电子干涉——电子间互作用2.粒子由波组成电子是波包：波包大小：电子大小波包速度：电子群速度许多平面波叠加充满整个空间，而电子有确定大小。1.1.3概率波多粒子体系波函数（1）经典粒子（类比子弹）ρ(x)分布函数开1ρ（x）开2ρ(x)12全开ρ（x）=ρ(x)+ρ(x)12（2）声波I—声强iωt2单
2、开1I（x）h(x)eI=h(x)1111iωt2单开2I（x）h(x)eI=h(x)2222iωth(x)=[h(x)+h(x)]e12222**总h(x)+h(x)=h(x)+h(x)+h(x)h(x)+h(x)h(x)12121212(3)微粒衍射实验1.入射电子流大，很快显示衍射图样2.入射电子流小，开始时显示电子的微粒性，长时间——衍射图样3.波函数ψ(r)——衍射波波幅“粒子观点”——极大值——电子多2“波动观点”——极大值——波强大ψ(r)2ψ(r)——电子出现在r点附近几率大小ψ(r)——描述微观粒子的状态（几率波幅）2ψ(r)——几率密度2ψ(r
3、)dxdydz——在r点处，体积元dxdydz中找到粒子的几率(4)波函数性质1.几率和几率密度�在t时刻，点，体积元rdτ=dxdydz内找到由波函数ψ(r,t)2描写粒子的几率dw(r,t)=cψ(r,t)dτ�在t时刻，r点，单位体积内找到粒子几率2几率密度：w(r,t)=cψ(r,t)�在体积V内，t时刻找到粒子几率2w(t)=w(r,t)dτ=cψ(r,t)dτ∫v∫v2.平方可积2cψ(r,t)dτ=1∫∞1c=2ψ(r,t)dτ∫∞自由粒子i(kx−ωt)ψ(x,t)=Ae22∫∞ϕ(x,t)dτ=∫∞Adτ=∞3.归一化函数ψ(r,t)与cψ(r,
4、t)所描述状态的相对几率是相同的——描述同一状态归一化常数：ψ(r,t)没有归一化221∫∞ψ(r,t)dτ=A⇒∫∞ψ(r,t)dτ=1A11iδψ(r,t)→ψ(r,t)→eψ(r,t)AAr−−iωt•例：若ψ(r,t)=e2a求其归一化系数及相关几率222∫ψ(r,t)dτ=∫ψ(r,t)rsinθdrdθdϕ∞2r−2a−iωt2=∫eersinθdrdθdϕ∞r∞π2π−a2=∫dr∫dθ∫dϕersinθ000r∞−2a=2π×2∫redr03=8πa2111∫ψ(r,t)dτ=1=归一化系数∞AA8πa3•在r0～r0+dr中几率r02ππ⎡1−⎤
5、a2∫0dϕ∫0dθ⎢3⋅e⎥r0dr⎣8πa⎦2r2rr−0r−0=2π×2⋅0ea=0eadr338πa2a•对r与ϕ进行积分r2π∞2⎡1−⎤dϕreadrsinθdθ∫0∫0⎢8πa3⎥⎣⎦32a=2π⋅sinθdθ38πa1=sinθdθ24.平面波归一化Ⅰ.δ函数定义⎧0x≠x0δ(x−x0)=⎨⎩∞x=x0且+∞x0+εδ(x−x)dx=δ(x−x)dx=1∫−∞0∫x0−ε0点电荷q位于o点ρ(x)=qδ(x)eρ(x)dx=q∫e等价定义：对在x=x0领域连续的任何函数f(x)+∞f(x)δ(x−x)dx=f(x)∫00−∞f(x)⎯⎯⎯→δ(x
6、−x0)⎯⎯→f(x0)δ(x−x0)筛选器，仅让f(x0)过去注：i）三维⎧0r≠0δ(r)=δ(x)δ(y)δ(z)=⎨⎩∞r=0且∫∫∫δ（r）dxdydz=1全Ⅱ性质：a.δ(−x)=δ(x)b.xδ(x)=0f(x)δ(x−a)=f(a)δ(x−a)11c.δ(ax)=δ(x)d.δ(x2−a2)=[δ(x+a)+δ(x−a)]a2aⅢδ函数常用表达式ppx1+∞ikxk=1+∞ia.δ(x)=∫edk⎯⎯⎯ℏ→∫eℏdp2π−∞2πℏ−∞p⋅r1i三维：δ（r）=eℏdp3∫∫∫(2πℏ)sinαxb.δ(x)=limα→∞πx（5）多粒子波函数��ψ
7、(r,r)Ⅰ二个粒子波函数12��2ψ(r,r)12——几率密度��2���ψ(r1,r2)dr1dr2——粒子1处于r1附近，粒子�r2位于2附近的概率2Ⅱ∫全ψdτ=∫全ψ*ψdτ=(ψ,ψ)+∞for1D：∫dτ=∫dx全−∞+∞+∞+∞3D：∫全dτ=∫−∞∫−∞∫−∞dxdydz§1.1.4动量几率密度1.傅里叶变换(1)定义：设f(x)是x的某个函数，若1+∞ikxf(x)=∫g(k)edk——g(k)称为f(x)的傅里叶变换2π−∞2.二个定理1+∞ikxf(x)=∫g(k)edk(1)如果2π−∞1+∞−ikx则g(k)=∫f(x)edx2π−∞+
8、∞2+∞2
