2018-2019高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.2 两角和与差的正弦学案 苏教版必修4

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1、3.1.2　两角和与差的正弦学习目标　1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．知识点　两角和与差的正弦思考1　如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？答案　sin(α＋β)＝cos＝cos＝coscosβ＋sinsinβ＝sinαcosβ＋cosαsinβ.思考2　如何推导两角差的正弦呢？答案　可以由sin(α－β)＝cos＝cos得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到．梳理　(1

2、)两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβα，β∈R记忆口诀：“正余余正，符号相同”．(2)辅助角公式asinx＋bcosx＝，令cosφ＝，sinφ＝，则有asinx＋bcosx＝(cosφsinx＋sinφcosx)＝sin(x＋φ)，其中tanφ＝，φ为辅助角．1.任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(　√　)1

3、3提示　由两角和的正弦公式知结论正确．2．存在角α，β，使sin(α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ.(　×　)提示　由两角差的正弦公式知不存在角α，β，使sin(α－β)≠sinαcosβ－cosαsinβ.3．存在角α，β，使sin(α＋β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(　√　)提示　如α＝β＝0时，sin(α＋β)＝0，sinαcosβ－cosαsinβ＝0.类型一　给角求值例1　(1)化简求值：sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)·sin(x－18°)．解　原式＝

4、sin(x＋27°)cos(18°－x)－cos(x＋27°)·sin(x－18°)＝sin(x＋27°)cos(18°－x)＋cos(x＋27°)sin(18°－x)＝sin[(x＋27°)＋(18°－x)]＝sin45°＝.(2)＝.答案　解析　原式＝＝＝＝sin30°＝.反思与感悟　(1)解答给角求值题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练

5、1　计算：(1)sin14°cos16°＋sin76°cos74°；(2)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)．解　(1)原式＝sin14°cos16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°)＝sin14°cos16°＋cos14°sin16°＝sin(14°＋16°)＝sin30°＝.13(2)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin90°＝1.类型二　给值求值例2　已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．解　∵0<α<<β

6、<，∴<＋α<π，－<－β<0.又∵sin＝，cos＝，∴cos＝－，sin＝－.∴cos(α＋β)＝sin＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝－.反思与感悟　(1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2　已知<β<α<，cos(α－β)

7、＝，sin(α＋β)＝－，求cos2α与cos2β的值．解　∵<β<α<，∴0<α－β<，π<α＋β<.∴sin(α－β)＝＝＝，cos(α＋β)＝－＝－＝－.13∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－×－×＝－，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－×＋×＝－.类型三　辅助角公式例3　将下列各式写成Asin(ωx＋φ)的形式：(1)sinx－cosx；(2)s

8、in＋cos.解　(1)sinx－cosx＝2＝2＝2sin.(2)原式＝＝＝cos＝cos＝sin.反思与感悟　一般地对于asinα＋bcosα形式的代数式，可以提取，化为Asin(ωx＋φ)的形式，公式asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)(或asinα＋bcosα＝cos(α－φ))称为辅助角公式．利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值