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1、属性集的闭包知识要点1． 函数依赖集与函数依赖集的闭包F：FD的集合称为函数依赖集。F闭包：由F中的所有FD可以推导出所有FD的集合，记为F+。例3-25对于关系模式R(ABC)，F＝{A→B,B→C}，求F+。根据FD的定义，可推出F+={φ→φ,A→φ,A→A,A→B,A→C,A→AB,A→BC,A→ABC,…}，共有43个FD。其中，φ表示空属性集。2． 属性集闭包定义对F，F+中所有X→A的A的集合称为X的闭包，记为X+。如上例：A+＝ABC结论：·X+表示所有X可以决定的属性。 如上例：A+
2、＝ABC表示A→ABC，以S(sno,sname,sex)(无同名)讲解。·若X+包含R的所有属性，则X是超键。当X不可约时则为候选键。 如上例：A+＝ABC，则A为超键，因为A不可约则为候选键。(AB)+＝ABC，则AB为超键，因为AB可约则不为候选键，以S(sno,sname,sex)讲解。·F+是指数级计算，而X→Y属于F+的必要充分条件是：Y是X+的子集。即不求F+，但可以判断FD是否属于F+。 如上例：R(ABC)，F={A→B,B→C}F+={φ→φ,A→φ,A→A,A→B,A→C,A→AB
3、,A→BC,A→ABC,…}例3-26对例3-25的关系模式R，求其候选键并判断A→C和B→A是否属于F＋。根据属性集闭包的定义可知：A+=ABC，B+=BC，C+=C。由于A+包含R的所有属性，则R候选键为A。由于C A+而A B+，则A→C F＋而B→A F＋。3． 属性集闭包算法A+：·将A置入A+。·对每一FD，若左部属于A+，则将右部置入A+。·重复至A+不能扩大。例3-27对于关系模式R(ABCD)，F＝{A→B,B→C,D→B}，求其候选键。(1) 求A+。① A+＝A。
4、② 由A→B，而A A+可知，则A+＝AB。③ 由B→C，而B A+可知，则A+＝ABC。④ A+封闭，即A+＝ABC。(2) 求B+、C+、D+。按步骤(1)可得：B+＝BC，C+＝C，D+＝BCD。(3) 求其候选键。显然，R的候选键为AD。例3-28对于关系模式R(ABC)，F={A→BC,BC→A}，求其候选键。(1) 求属性的闭包。按例3-27可得：A+＝ABC，B+＝B，C+＝C。(2) 求属性集的闭包。由BC→A，则(BC)+＝ABC，其余属性集闭
5、包为属性闭包的并集。(3) 求其候选键。显然，R的候选键为A和BC。4． FD集的最小依赖集① 定义：对R(U)上的F1、F2，若F1+=F2+，则称F1与F2等价。eg.R(ABC)，F1={A→B,AB→C,D→AC,D→E}与F2={A→BC,D→AE}等价？ 对F1：A+＝ABC，B+＝B，C+＝C，D+＝ABCDE，E+＝E，(AB)+＝ABC。 对F2：A+＝ABC，B+＝B，C+＝C，D+＝ABCDE，E+＝E，(AB)+＝ABC。 故F1与F2等价。② 定义：Fmi
6、n是F的最小依赖集的必要充分条件为： ·Fmin+=F+。 (重点)·每个FD的右部是单属性。 ·Fmin中没有冗余的FD，即删除任何一个FD则不等价。 ·每个FD左部无冗余属性（即删除任一属性即不等价），称左部不可约。③ 结论：·要实现一个F，只要实现Fmin即可。 ·每个F均存在一个Fmin，但不惟一。作业及练习1． 设关系模式R(ABCD)，F＝{A→B,B→C}，试写出(1) 属性集BD的闭包(BD)+。(2) 所有左部为B的FD，即形为
7、“B→?”的FD。2． 设关系模式R(ABC)，F＝{A→B,B→C}，试写出F+中的43个FD。3． 设关系模式R(ABCD)，F＝{A→B,C→B}，试写出R的候选键。4． 设关系模式R(ABCD)，假设B与D为一对多联系，而A与C为一对一联系，试写出相应的FD，并由此写出R的候选键。5． 设关系模式R有n个属性，在R上可能成立的FD有多少个，其中平凡的FD有多少个，非平凡的FD有多少个？
