《向量组线性相关性》PPT课件

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1、线性表示。可由maaa，，，或说21mmkkknaaaa使得，，，，存在常数，，，，维向量组若对于LLL2121的一个线性组合，为maaa，，，则称21ammkkkaaaa2211+++=线性表示的定义回顾§4.2向量组的线性相关性线性相关的定义1定义1设有m个n维向量α1，α2，，αm，如果存在一组不全为零的数使则称向量组α1，α2，，αm线性相关；否则，称向量组线性无关线性相关两种定义的等价性向量组a1，a2，，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。必要性：因为a1，a2，，am线性相关，故存在不全为零的

2、数l1，l2，，lm，使l1a1l2a2lmamo。不妨设l10，于是即a1为a2，a3，，am的线性组合。充分性：不妨设a1可由其余向量线性表示：a1=l2a2l3a3lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3，，lm，使(1)a1+l2a2l3a3lmam=o，即a1，a2，，am线性相关。证明：1.含有零向量的向量组一定线性相关。2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例。4.n维基本单位向量e1，e2，…，e

3、n是线性无关的。5.几何意义定义1设有m个n维向量α1，α2，，αm，如果存在一组不全为零的数使则称向量组α1，α2，，αm线性相关；否则，称向量组线性无关思考题：给出线性无关的直接定义证明向量组线性无关.证利用条件设法推出即可.设(1)(1)式左乘得(1)式成为(2)(2)式左乘同理推出例3例2设向量可由线性无关的向量组线性表示,证明表法是唯一的.(p99定理3.2.2)证设有两种表示方法由线性无关所以方程组有非零解。21=x12-=x13-=x得方程组由于解:设使所以线性相关。例1讨论向量组的线性相关性即存在一组不全为零0的数21=x12-=x13-

4、=x易见向量组a1，a2，，am线性相关的充分必要条件是：以x1，x2，，xm为未知量的齐次线性方程组x1a1x2a2xmamo有非零解。而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数m，即由此即得：存在不全为零的数使即有非零解.还是转换！转换线性无关…向量组线性相关(按定义)(转化为方程组)齐次方程组(用矩阵的秩)把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。定理3.2.3证明向量组线性相关性的基本方法（向量方程）思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关及线性无关的条件

5、是什么？答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0；线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0。例3．t取何值时向量组线性无关、线性相关？α1=（3，2，0），α2=（5，4，-1）α3=（3，1，t）解由于当2t-3≠0，即t≠3/2时，α1，α2，α3线性无关当2t-3=0，即t=3/2时，α1，α2，α3线性相关例2、已知讨论向量组a1，a2，a3及向量组a1，a2的线性相关性解：A=（a1，a2，a3）=∵R（A）=2<3，∴a1，a2，a3线性相关。∵R（a1，a2）=2，∴向量组a1，a2的线性无关。另解：例4．设向量组a1，a2，a3线

6、性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（一）考虑x1b1x2b2x3b3o，，x1x1x2x2x3x3000===++++从而b1，b2，b3线性无关。方程组只有零解，即x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)o，整理得(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（三）从而R

7、（B）=R（A），而向量组a1，a2，a3线性无关，所以R（A）=3R（B）=3可知向量组b1，b2，b3也线性无关。例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（二）只有即只有所以向量组b1，b2，b3也线性无关。例4．设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。证明：（四）从而，即向量组a1，a2，a3与向量组b1，b2，b3等价。从而R（B）=R（A）=3，所以向量组b1，b2，b3