平面问题的基本理论

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1、第二章平面问题的基本理论本章要点：建立平面问题的基本方程主要包括以下主要内容：1.平衡微分方程；2.几何方程；3.物理方程；4.变形协调方程；5.边界条件的描述；6.方程的求解方法等第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题1.平面应力问题(1)几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。t<

2、3)应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有外力在z方向不变整个板上各点均有结论：平面应力问题只有3个应力分量，且仅与X，Y有关：xyyztba剪应力互等知第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题2.平面应变问题(1)几何特征一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化，近似认为无限长。(2)外力特征外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。约束沿长度z方向不变化。(3)变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一

3、纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，xy的函数。水坝滚柱厚壁圆筒第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题(4)应力应变特征因为任一横截面均可视为对称面，则有所有各点的位移矢量都平行于xy平面。即为平面位移问题。则有：平面应变问题注：(1)平面应变问题中，但是(2)平面应变问题中应力分量：仅为小，x,y函数．可近似为平面应变的例子：隧道，煤矿坑道，大坝，挡土墙水坝第二章平面问题的基本理论§2-1平面应力问题与平面应变问题3.习题如图所示三种情形，试判断：是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平

4、面应力问题平面应变问题非平面问题第二章平面问题的基本理论§2-2平衡微分方程在P点附近取微元体PACB,Z方向取单位长度，设Ｐ点应力为：则AC面：BC面：xyOPBAC注：体力为：X,Y；且计算时使用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。第二章平面问题的基本理论§2-2平衡微分方程由微元体PACB平衡，得则有整理上式知PBACxyODXY当时，有即验证了剪应力互等第二章平面问题的基本理论§2-2平衡微分方程由则有两边同时除以dx,dy整理得：由则有两边同时除以dx,dy整理得：PBACxyODXY第二章平面问题的基本理论§2-2

5、平衡微分方程由上述可得平面问题的平衡微分方程：(2-1)(2-2)说明：(1)两个平衡微分方程，三个未知量：为超静定问题，需找补充方程才能求解。(2)对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；(3)平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关；(4)平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。PBACxyODXY第二章平面问题的基本理论§2-3平面问题中一点的应力状态(1)斜面上应力在坐标方向上的分量设P点应力为：已知斜面上的应力矢量为：S斜面外法线N关于坐标轴的方向余弦为：由微元体平衡知：则有：

6、整理得：(2-3)又有：则：整理得：(2-4)xyOdxdydsPABsXNYNN第二章平面问题的基本理论§2-3平面问题中一点的应力状态(2)斜面上的正应力与剪应力如图斜面上的应力状态投影得：将式(2-3)、(2-4)代入，并整理得：(2-5)(2-6)的方向规定：将N转动90°而到达的方向是顺时针的，则该为正；反之为负。若AB面为物体的边界S，则可得xyOdxdydsPABsXNYNN—任意斜截面上应力计算公式—平面问题的应力边界条件第二章平面问题的基本理论§2-3平面问题中一点的应力状态(3)主应力若某一斜面上=0，则该斜面上的

7、正应力称为该点一个主应力；当=0时，有则求解得：(2-7)xyOdxdydsPABsXNYNN该式即为平面应力状态主应力的计算公式第二章平面问题的基本理论§2-3平面问题中一点的应力状态(4)应力主向主应力所在的平面——称为主平面；主应力所在平面的法线方向——称为应力主向；设与x轴的夹角为，与坐标轴正向的方向余弦为，则设与x轴的夹角为，与坐标轴正向的方向余弦为，则第二章平面问题的基本理论§2-3平面问题中一点的应力状态(4)应力主向由上得应力主向的计算公式为：(2-8)并由式得则有(1)σ1与σ2互相垂直。(2)任一点P，一定存在两互

8、相垂直的主应力σ1、σ2。结论第二章平面问题的基本理论§2-3平面问题中一点的应力状态(5)σN的主应力表示如由图所示：由下式得到：上式中σ1与σ2分别为最大和最小应力。xyOsdxdydsPABN第二章平面问题的基本理