D74一阶线性微分方程

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1、一阶线性微分方程第四节一、一阶线性微分方程*二、伯努利方程第七章1一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:若Q(x)0,若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得故通解为称为齐次方程;注：不定积分表示一个特定的原函数2对应齐次方程通解齐次方程通解非齐次方程特解2.解非齐次方程用常数变易法:则故原方程的通解即即作变换两端积分得3例1.解方程解:先解即积分得即用常数变易法求特解.则代入非齐次方程得解得故原方程通解为令4在闭合回路中,所有支路上的电压降为0例2.有一电路如图所示,电阻R和电∼解:列方程.已知经过电阻R的电压降为Ri经过L的电压降为因此有即初始条件

2、:由回路电压定律:其中电源求电流感L都是常量,5解方程:由初始条件:得利用一阶线性方程解的公式可得∼6暂态电流稳态电流因此所求电流函数为解的意义:∼7例3.求方程的通解.解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得故方程可变形为所求通解为这是以为因变量y为自变量的一阶线性方程8*二、伯努利(Bernoulli)方程伯努利方程的标准形式:令求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)伯努利9例4.求方程的通解.解:令则方程变形为其通解为将代入,得原方程通解:10内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式化为线性方程

3、求解.2.伯努利方程113.注意用变量代换将方程化为已知类型的方程例如,解方程法1.取y作自变量:线性方程法2.作变换则代入原方程得可分离变量方程12思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程13P3151(3),(6),(9);2(5);6;*8(1),(3),(5)作业第五节习题课114备用题1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有线性方程利用公式可求出152.设有微分方程其中试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题利用通解公式,得利用得故有162)再解定解问题此齐次线性方程的通解为利用衔接条件得因此有3)原问题的解为1

4、7(雅各布第一·伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1713年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.18