D112数项级数及审敛法(VI)

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1、二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”都有定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若级数则级数(2)若级数则级数证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示弱级数和强级数的部分和,则有是两个正项级数,(常数k>0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨(1)若级数则有因此对一切有由定理1可知,则有(2)若级数因此这说明级

2、数也发散.也收敛.发散,收敛,级数例.讨论p级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,因为当故考虑级数的部分和故级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切p级数级数收敛级数发散证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例.判别级数敛散性.解:因为而调和级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例.定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞证:据极限定义,设两正项级数满足(1

3、)当0

4、证:(1)收敛,时,级数收敛;或时,级数发散.由比较审敛法可知因此所以级数发散.时(2)当说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.从而例.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;例:判别级数的收敛性解:例:判别级数的收敛性解:比值审敛法失效,改用比较审敛法例:判别级数的收敛性解:故级数收敛.例判别级数的敛散性.解:因为由于所以收敛,故原级数收敛.解:令则故原级数收敛.例:判别级数的收敛性对任意给定的正数定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则证明提示:即分别利用上述不等式的左,右

5、部分,可推出结论正确.数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.例.证明级数收敛于S,似代替和S时所产生的误差.解:由定理5可知该级数收敛.令则所求误差为并估计以部分和Sn近例:判别级数的收敛性解:因为所以级数收敛例:判别级数的收敛性解:因为所以级数发散不是p–级数解发散,故原级数发散.例:判别级数的收敛性小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数

6、.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和其余项满足证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故收敛收敛用Leibnitz判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条件收敛.均为绝对收敛.例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛且收敛,令例.证明下列级数绝对收敛:证:而收敛,收敛因此绝对收敛.证令因此收

7、敛,绝对收敛.例.证明下列级数绝对收敛:其和分别为绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数与都绝对收敛,其和为内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛练习1.设正项级数收敛,能否推出收敛?提示:由比较判敛法

8、可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.2.判别级数的敛散性:解:(1)先考察绝对值级数发散,故原级数发散.又所以条件收敛.3.则级数(A)发散