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《组合数学第四版卢开澄标准答案-第一章》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第1章排列与组合1.1从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：[解](a)将上式分解，得到a=b–5，a=1，2，…，45时，b＝6，7，…，50。满足a=b-5的点共50-5=45个点.a=b+5，a=5，6，…，50时，b＝0，1，2，…，45。满足a=b+5的点共45个点.所以，共计2×45=90个点.(b)。1.25个女生，7个男生进行排列，(a)若女生在一起有多少种不同的排列？(b)女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c)两男生A和B之间正好有3个女生的排列是多少？[解](a)女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。（7＋1）!×5!=8!×5!＝403
2、20×120=4838400(b)先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有种选择。将女生插入，有5!种方案。故按乘法原理，有：7!××5!=33868800(种)方案。(c)先从5个女生中选3个女生放入A，B之间，有种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有(7+1)!=8!由于A，B可交换，如图**A***B**或**B***A**故按乘法原理，有：2××3!×8!=4838400（种）1.3m个男生，n个女生，排成一行，其中m，n都是正整数，若(a)男生不相邻(m≤n+1)；(b)n个女生形成一
3、个整体；(c)男生A和女生B排在一起；分别讨论有多少种方案.[解](a)先将n个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m个空隙，共有种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!××m!＝n!××m!=种方案。(b)n个女生形成一个整体，看作一个人，与m个男生做重排列，然后，n个女生内部再作排列，按乘法原理，有(m+1)!×n!种方案。(c)男生A和女生B排在一起，看作一人，和其余n-1+m-1=n+m-2个人一起，作排列，共有(n+m-2+1)=(n+m-1)!种方法，A，B两人内部交换，故有2×(n+m-1)!种方案。1.426个英文字母进行排列，要求x和y之间有5个
4、字母的排列数.[解]选入26－2＝24个字母中选取5个字母，有种方法，5个字母内部排列，有5!种方案，再将X*****Y这7个字母看作一个，与其余19个合起来作排列，共有(19+1)!=20!种方案，又因为X与Y可交换，故按乘法原理，有：2××5!×20!=2××5!×20!=40×24!≈40××又因为：ln40+0.5(lg+lg48)+24(lg24–lge)≈1.602059991+0.5(0.497149872+1.681241237)+24(1.380211242-0.434294481)=25.39325777所以，结果为＝2.473191664×1.5求3000到8000
5、之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字.[解]3000~8000中各位不同的奇数，分类讨论：首位3，1×8×7×4（末位不能取3）首位4，1×8×7×5（末位全取）首位5，1×8×7×4首位6，1×8×7×5首位7，1×8×7×4从而，由加法原理，得：8×7×（4＋5＋4＋5＋4）=56×22＝1232个。1.6计算[解](参见p14)1.7试证被2n除尽.[证]故能被整除。1.8求1040和2030的公因数.[解]因为1040=240·540，2030=(22·5)30=260·530,所以它们的公因数为形如2m·5n的数，其中0≤m≤40，0≤n≤30，故它们的公因数的数目为(40+
6、1)(30+1)=1271。1.9试证n2的正除数的数目是奇数.[证]当n=1时，因数为10；当n=2时，因数为20，21，22；当n=3时，因数为30，31，32；设，(均为质数)，则的正除数可表示为，其中均为整数，且，所以的正除数的个数为，结果是奇数的乘积为奇数。1.10证明任一正整数n可惟一地表示成如下形式：[证].(1)可表示性：令M={(am-1,am-2,¼,a2,a1):0£ai£i，i=1,2,¼,m-1}，显然
7、M
8、=m!；N={0,1,2,¼,m!-1}，显然
9、N
10、=m!，其中m是大于n的任意整数。定义函数f:M®Nf(am-1,am-2,¼,a2,a1)=am-1(
11、m-1)!+am-2(m-1)!+¼+a22!+a11!(*)显然，0=0(m-1)!+0(m-1)!+¼+0×2!+0×1!£am-1(m-1)!+am-2(m-1)!+¼+a22!+a11!£(m-1)(m-1)!+(m-2)(m-1)!+¼+2×2!+1×1!=m!-1（见P14）即0£f(am-1,am-2,¼,a2,a1)£m!-1由于f是用普通乘法和普通加法所定义的，故从而f无歧义。从而有一确定的数K（0£K£m!-1）
