随机过程习题和答案

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1、Word格式一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时，＝＝1.2设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：完美整理Word格式所以：2.12.2设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1）与无关完美整理Word格式（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。2.32.42.5完美整理Word格式3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且

2、与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令表示时间内的体检人数，则为参数为30的poisson过程。以小时为单位。则。。3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为，，当1路公共汽车有人乘坐后出发；2路公共汽车在有人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当=，=时，计算上述概率。解：法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来

3、的人数分别为参数为、的poisson过程，令它们为、。表示=的发生时刻，表示=的发生时刻。完美整理Word格式（2）当=、=时，法二：（1）乘车到来的人数可以看作参数为+的泊松过程。令、分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则、分别服从参数为、的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。。故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度+的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1，以的概率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共

4、汽车1代表试验成功，那么有：（2）当=、=时3.3设，是个相互独立的Poisson过程，参数分别为完美整理Word格式。记为全部个过程中，第一个事件发生的时刻。（1）求的分布；（2）证明是Poisson过程，参数为；（3）求当个过程中，只有一个事件发生时，它是属于的概率。解：（1）记第个过程中第一次事件发生的时刻为，。则。由服从指数分布，有（2）方法一：由为相互独立的poisson过程，对于。这里利用了公式所以是参数为的poisson过程。方法二：当时，完美整理Word格式当时，得证。（3）3.4证明poisson过程分解定理：

5、对于参数为的poisson过程，，，，可分解为个相互独立的poisson过程，参数分别为，。解：对过程，设每次事件发生时，有个人对此以概率进行记录，且，同时事件的发生与被记录之间相互独立，个人的行为也相互独立，以表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明是参数为完美整理Word格式的poisson过程。独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，一个以概率，一个以概率记录，则是参数为的poisson过程，是参数为的poisson过程。得证。3.5设是参数为3的poisson过程，试求（1）；（2）；（3）解：（1）（

6、2）完美整理Word格式（3）3.6对于poisson过程，证明时，解：3.7设和分别是参数为，的Poisson过程，另，问是否为Poisson过程，为什么？解：不是，的一维特征函数为：完美整理Word格式参数为的Poisson过程的特征函数的形式为，所以不是poisson过程。3.8计算，，的联合分布解：3.9对，计算。解：3.10设某医院专家门诊，从早上8:00开始就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者服务，服务的平均时间为20分钟，且每名患者的服务时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00门诊结束时接受过治疗

7、的患者平均在医院停留了多长时间。完美整理Word格式解：从门诊部出来的患者可以看作服从参数为3的泊松过程（以小时为单位）。则在小时内接受治疗的患者平均停留时间为：　当ｔ＝４时，平均等待停留时间为２ｈ。３.11是强度函数为的非齐次Poisson过程，是事件发生之间的间隔时间，问：（1）诸是否独立?（2）诸是否同分布？解：（1）。从上面看出、不独立。以此类推，不独立。（2）；分布不同。3.12设每天过某路口的车辆数为：早上7:008:00,11:0012:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:30完美整理Word格

8、式11:20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500辆的概率是多少？解：（1）记时刻7:00为时刻0，以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度函数如下：则在7：30~11：20时间内，即时，代表这段时间内通过的车辆