基本公式及四则运算法则

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1、1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则第一课时　基本公式及四则运算法则1.能利用给出的基本初等函数的导数公式求函数的导数．2．能利用初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.1.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝①________.(2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________.(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝③________.(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝④________.(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________.(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥_______

2、_.(7)若f(x)＝logax则f′(x)＝⑦________.(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝⑧________.A．0B．1C．2D．3解析：①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错；②③④均正确，直接利用公式即可验证．答案：D2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于()A．1B．2C．3D．4解析：y′

3、x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3.答案：C3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋y－1＝0，则()A．f′(x0)>0B．f′(x0)<0C．f′(x0)＝0D．f′(x0)不存在答案：B5．已知f(x)＝x

4、2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④∴由①③可得a＝c＝2.1.对基本初等函数的导数公式的理解：(1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式，学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错点．2．对导数的运算法则的理解：(

5、1)两个函数和(或差)的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．(2)两个函数积的函数的求导法则设函数f(x)，g(x)是可导的，则[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数．即[cf(x)]′＝cf′(x)．(3)两个函数商的函数的求导法则例1求下列函数的导数．(1)y＝tanx

6、；(2)y＝3x2＋x·cosx；[分析]求函数的导数主要有直接求导和先变形然后再求导两种方法，要注意正确区分．[点拨]理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时，也要先变形，使其符合公式形式．(3)y′＝(3x4＋2x3＋5)′＝12x3＋6x2.(4)y′＝(sinx＋tanx)′例2已知f′(x)是一次函数，x2·f′(x)－(2x－1)·f(x)＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式．[分析]根据f′(x)为一次函数，可设f(x)的解析式为f(x)＝ax2＋bx＋

7、c(a≠0)，然后利用对一切x∈R方程恒成立，转化为关于a，b，c的方程组，即可求出f(x)的解析式．[解]由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，把f(x)，f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，[点拨]待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数．练2求满足下列条件的函数f(x)．(1)f(x

8、)是二次函数，且f(0)＝4，f′(0)＝－1，f′(1)＝7；(2)f′(x)是二次函数，(x2＋1)f′(x)－(3x＋1)f(x)＝5.[解](1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b.由f(0)＝4，得c＝4.由f′(0)＝－1，得b＝－1.由f′(1)＝7，得2a＋b＝7，得a＝4，所以f(x)＝4x2－x＋4.(2)由f′(x)为二次函数可知f(x)为三次函数，设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.把f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋1)

9、(ax3＋