用均值不等式求最值方法和技巧

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1、用均值不等式求最值的方法和技巧桃源县第九中学朱梅芳均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。下面谈谈运用均值不等式求解一些函数的最值问题的方法和技巧。一、几个重要的均值不等式①当且仅当a=b时，“=”号成立；②当且仅当a=b时，“=”号成立；③当且仅当a=b=c时,“=”号成立；④,当且仅当a=b=c时,“=”号成立.注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；②熟悉一个重要的不等式链：。二、用均值不等式求最值的常见的方法和技巧1、求几个正数和的最小值。例1、求函数的最小值。解析：，当且仅当即时，“=”号成立，故此

2、函数最小值是。评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。2、求几个正数积的最大值。例2、求下列函数的最大值：①②解析：9①，∴，当且仅当即时，“=”号成立，故此函数最大值是1。②，则，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,当且仅当，即时，不等式中的“=”号成立，故此函数最大值是。评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。3、用均值不等式求最值等号不成立。例3、若x、y，

3、求的最小值。解法一：（单调性法）由函数图象及性质知，当时，函数是减函数。证明：任取且，则，∵，∴，则，即在上是减函数。故当时，在上有最小值5。解法二：（配方法）因，则有，易知当时，且单调递减，则在上也是减函数，即在上是减函数，当时，在上有最小值5。解法三：（导数法）由得，当时，，则函数在上是减函数。故当时，在上有最小值5。9解法四：（拆分法），当且仅当时“=”号成立，故此函数最小值是5。评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特别是单调性法、导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。4、条件最值问题。例4、已知正数x、y满足，求的最小值。解法一：（利用均值

4、不等式）,当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法二：（消元法）由得，由则。当且仅当即时“=”号成立，故此函数最小值是18。解法三：（三角换元法）令则有则，易求得时“=”号成立，故最小值是18。评析：此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。5、利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。例5、已知正数满足，试求、的范围。解法一：由，则，即解得，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是。又，当且仅当即时取“=”号，故的取值范围是9解法二：由，知，则，由，则：，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范

5、围是。，当且仅当，并求得时取“=”号，故的取值范围是。三、用均值不等式求最值的常见的技巧1、添、减项（配常数项）　　例1求函数的最小值.　　分析：是二项“和”的形式，但其“积”的形式不为定值.而可与相约，即其积为定积1，因此可以先添、减项6，即，再用均值不等式.　　　　　　当且仅当，即时,等号成立.所以的最小值是.9　　评注为了创造条件利用均值不等式，添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变，添项后一定要再减去同一项.　　2、配系数（乘、除项）　　例2已知，且满足，求的最大值.　　分析,是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式是否定值，　　而已知是与的和为定值，故

6、应先配系数，即将变形为，再用均值不等式.　　　当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值是.评注本题是已知和为定值，要求积的最大值，可逆用均值不等式，即利用来解决.　　3、裂项　　例3已知，求函数的最小值.　　分析在分子的各因式中分别凑出，借助于裂项解决问题.9　　　　　当且仅当，即时，取等号.　　所以.　　4、取倒数　　例4已知，求函数的最小值.　　分析分母是与的积，可通过配系数，使它们的和为定值；也可通过配系数，使它们的和为(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.　　解由，得，.　　取倒数，得　　　当且仅当，即时，取等号.　　故的最小值是.　　5、平方　

7、　例5已知且求的最大值.　　分析条件式中的与都是平方式，而所求式中的是一次式，是平方式但带根号.初看似乎无从下手，但若把所求式平方，则解题思路豁然开朗，即可利用均值不等式来解决.9　　　　当且仅当，即，时，等号成立.　　故的最大值是.　　评注本题也可将纳入根号内，即将所求式化为，先配系数，再运用均值不等式的变式.　　6、换元（整体思想）　　例6求函数的最大值.　　分析可先令，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决.　　　　7、逆用条件　　例7已知,则的最小值是（）.　　分析直接利用均值不等式，只能求的最小值，而无法求9的最小值