受弯构件的内力

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1、3.1.1概述杆件在纵向平面内受到力偶或垂直于杆轴线的横向力作用时，杆件的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。实际上，杆件在荷载作用下产生弯曲变形时，往往还伴随有其他变形。我们把以弯曲变形为主的构件称为受弯构件。梁和板，如房屋建筑中的楼（屋）面梁、楼（屋）面板、雨篷板、挑檐板、挑梁等是工程实际中典型的受弯构件，如图3.1所示。实际工程中常见的梁，其横截面往往具有竖向对称轴（图3.2（a）、（b）、（c）），它与梁轴线所构成的平面称为纵向对称平面（图3.2（d））。图3.2梁横截面的竖向对称轴及梁的纵向对称平面（a）、（b）

2、、（c）梁横截面的竖向对称轴；（d）梁的纵向对称平面若作用在梁上的所有外力（包括荷载和支座反力）和外力偶都位于纵向对称平面内，则梁变形时，其轴线将变成该纵向对称平面内的一条平面曲线，这样的弯曲称为平面弯曲。按支座情况不同，工程中的单跨静定梁分为悬臂梁、简支梁和外伸梁三类。在梁的计算简图中，梁用其轴线表示，梁上荷载简化为作用在轴线上的集中荷载或分布荷载，支座则是其对梁的约束，简化为可动铰支座、固定铰支座或固定端支座。梁相邻两支座间的距离称为梁的跨度。（a）悬臂梁；（b）简支梁；（c）、（d）外伸梁3.1.2梁的内力——剪力和弯矩

3、的计算3.1.2.1剪力和弯矩的概念图3.4（a）为一平面弯曲梁。现用一假想平面将梁沿m-m截面处切成左、右两段。现考察左段（图3.4（b））。由平衡条件可知，切开处应有竖向力V和约束力偶M。若取右段分析，由作用与反作用关系可知，截面上竖向力V和约束力偶M的指向如图3.4(c)。V是与横截面相切的竖向分布内力系的合力，称为剪力；M是垂直于横截面的合力偶矩，称为弯矩。构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩（弯矩）。内力的正负规定:①剪力Fs:在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为

4、负值。Fs(+)Fs(–)Fs(–)Fs(+)剪力：Fs构件受弯时，横截面上存在平行于截面的内力（剪力）。②弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。M(+)M(+)M(–)M(–)剪力的单位为牛顿（N）或千牛顿（kN）；弯矩的单位是牛顿·米（N·m）或千牛·米（kN·m）。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。3.1.2.2截面法计算剪力和弯矩用截面法计算指定截面剪力和弯矩的步骤如下：（1）计算支反力；（2）用假想截面在需要求内力处将梁切成两段，取其中一段为研究对象；（3）画出研究对象的受力图，截面上未知剪力和弯

5、矩均按正向假设；（4）建立平衡方程，求解内力。【例3.1】如图3.6(a)所示简支梁，F1＝F2＝8kN，试求1-1截面的剪力和弯矩。【解】（1）求支座反力以AB梁为研究对象，假设支座反力FA和FB如图3.6所示。由∑MA＝0得：2F1＋5F2－8FB＝0FB=(2F1+5F2)/8=(2×8+5×8)/8=7kN由∑Fy＝0得：FA+FB－F1－F2＝0FA=F1+F2-FB=8+8-7=9kN（2）求截面1-1的内力取1-1截面以左的梁段为研究对象，假设剪力V和弯矩M如图3.6(b)(按正向假设)。由∑Fy＝0得：FA－F

6、1－V＝0V＝－F1＋FA＝-8＋9＝1kN由∑MA＝0得：M－2F1－4V＝0M＝2F1+4V＝2×8＋4×1＝20kN·m计算结果V、M均为正值，说明其实际方向与所设方向相同。【例3.2】试求图3.7(a)所示悬臂梁1-1截面的内力。【解】本例可不必计算固定端的支座反力。假想将梁从1-1截面处切开，取右段为研究对象，按正向假设剪力V和弯矩M，如图3.7(b)。由∑Fy＝0得：V－2q-F＝0V＝2q＋F＝2×8＋20＝36kN由∑M1-1＝0得：-M-2q×1－F×2＝0M＝-（2×8+20×2）＝-56kN·m计算结果V

7、为正值，说明其实际方向与假设方向相同。M为负，说明其实际方向与假设方向相反。由以上例题的计算可总结出截面法计算任意截面剪力和弯矩的规律：（1）梁内任一横截面上的剪力V，等于该截面左侧（或右侧）所有垂直于梁轴线的外力的代数和,即V＝∑F外。所取梁段上与该剪力指向相反的外力在式中取正号，指向相同的外力取负号。（2）梁内任一横截面上的弯矩M，等于截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩的代数和，即M=∑Mc（F外）。所取脱离体上M转向相反的外力矩及外力偶矩在式中取正号，转向相同的取负号。【例3.3】试计算图3.8所示外伸梁A、B

8、、E、F截面上的内力。已知F=5kN，m=6kN·m，q=4kN/m。【解】（1）求支座反力取整体为研究对象，设支反力FA、FB方向向上。由∑MB＝0得：6FA+2q×2/2-2F-m-8F＝0FA=8kN由∑Fy＝0得：FA+FB-F-F-2q=0FB=-FA+F+F+2q