2014非数学专业竞赛答案

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1、2011年河北省大学生数学竞赛（非数学类）参考答案及评分标准考试时间9月24日上午9：00——11:30一、（本题满分10分）设f(x)在x=0的某邻域内有连续的导函数,且sinxf(x)lim(+)=2,求f(0)与f'(0).x®0x2xsinxf(x)sinxf(x)解:由lim(+)=2,得到+=2+o(1),x®0.x®0x2xx2xsinx因此f(x)=2x-+o(x),x®0.由于f(x)在x=0的某邻域内有连续x的导函数,故f(x)在x=0连续,所以f(0)=limf(x)=-1.（5分）x

2、®0由导数的定义,f(x)-f(0)2x-sinx+o(x)+1xf'(0)=lim=lim=2.（10分）x®0xx®0x10分2345nxxxxnx二、（本题满分10分）计算级数-+-+L+(-1)+L之2×13×24×35×4n(n-1)和,

3、x

4、<1.¥解:该级数的收敛半径为1.由å(-1)nxn=1,

5、x

6、<1,（3分）1+xn=0两边从0到x积分得¥n+1nxå(-1)=ln(1+x),

7、x

8、<1，（6分）n=0n+1再两边从0到x积分得¥n+2xnxå(-1)=òln(1+t)dt=xln(1

9、+x)-x+ln(1+x)

10、x

11、<1.（10分）n=0(n+1)(n+2)03x三、（本题满分10分）计算积分I=dxdy,其中D为平面曲线òò23y+xyD22xy=1,xy=3,y=x,y=3x所围成的有界闭区域.2y解:作变换u=xy,v=,则积分区域变为D'={(u,v):1£u£3,1£v£3}，x-1¶(u,v)这时J==3v,（5分）¶(x,y)3xdudv2这样就得I=dxd==ln2.（10分）òò23òò2y+xyv(1+u)3DD'1du(t)四、（本题满分10分）确定函数u(t)使得

12、=u(t)+òu(s)ds,u(0)=1.dt01解:令b=òu(s)ds,则b为一特定常数,问题变为求解方程0u'(t)=u(t)+b,t其通解为u(t)=-b+Ce.（5分）由初值条件得u(0)=-b+C=1,而1tb=ò(-b+Ce)dt=-b+C(e-1),0te-122e-e+1解得b=,C=,于是u(t)=.（10分）3-e3-e3-e五、（本题满分10分）设0

13、1,则x=x(1-x)

14、x

15、明f(x)在x=0处取得极小值.f''(x)2

16、证明:由泰勒公式得f(x)=f(0)+x,xÎ(0,x),（3分）2f''(x)由lim=1,可知f''(x)在x=0的某邻域内恒正,（6分）x®0

17、x

18、因此f(x)在x=0处取得极小值.（10分）xln(1-t)七、（本题满分10分）已知j(x)=òdt,-1

19、令f(x)=j(x)+j(-x)-j(x),则有22f'(x)=j'(x)-j'(-x)-xj'(x)º0,因此f(x)ºc,注意到j(0)=0,知f(0)=0,所以c=0,故f(x)º0.（10分）p4n八、（本题满分10分）设a=tanxdx,n=1,2,×L,nò0¥¥1n(1)计算级数å(an+an+2)的和;(2)证明级数å(-1)an条件收敛;n=1nn=1解:(1)由ppp444n+2n1n1a=tanxdx=tanx(-1)dx=tanxdtanx-a=-a,n+2òò2ònncosxn+1

20、000¥¥¥11111得an+an+2=,于是å(an+an+2)=å=å-=1.（5分）n+1n=1nn=1n(n+1)n=1nn+11(2)证明:因为0£a£a+a=,则lima=0.显然{a}单调递减.nnn+2nnn+1n®¥¥n故级数å(-1)an收敛.n=1¥1又因an³(an+an+1)/2=,得åan发散,2(n+1)n=1¥n故级数å(-1)an条件收敛.（10分）n=1九、（本题满分10分）设