整数多元一次不定方程的矩阵解法与程序设计

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1、第23卷第6期云南师范大学学报Vol.23No.62003年11月JournalofYunnanNormalUniversityNov.2003X整数多元一次不定方程的矩阵解法与程序设计晏林(文山师范高等专科学校数学系,云南文山663000)摘要:文章利用欧几里德算法从理论上对多元一次不定方程在整数环上的可逆线性变换下的同解性进行研究,对整数环上的多元一次不定方程的通解给出一种算法,即矩阵解法,同时利用MATLAB数学软件给出相应的计算机求解多元一次不定方程的通用程序。关键词:通解;矩阵解法;程序设计;欧几里德算法;MATLAB中图分类号:O122

2、.1文献标识码:A文章编号:1007-9793(2003)06-0008-04文献[1]给出了用矩阵的初等变换求多元一x1y1次不定方程的通解,但所举例子过于简单,不具有x2y2=P,b1y1+b2y2+⋯+bnyn=b(3)一般性,不利于计算机编程。本文从另一角度利用••欧几里德算法从理论上对多元一次不定方程在整xnyn数环Z上的可逆线性变换下的同解性进行深入其中[b1,b2,⋯,bn]=[a1,a2,⋯,an]P,此时称的研究,对整数环Z上的多元一次不定方程的通x1y1解给出一种算法,即矩阵解法,同时利用x2y2=P为不定方程(1)的同解变换,

3、并记MATLAB数学软件给出相应的计算机求解多元••一次不定方程的通用程序。xnyn为1通解与算法[a1,a2,⋯,an]µ[b1,b2,⋯,bn]用P(i,j)表示将单位矩阵In的第i列与第j整数环Z上多元一次不定方程的一般形式列交换所得的初等矩阵,用P(i,j(k))表示将单为:位矩阵In的第i列的k倍加到第j列所得的初等a1x1+a2x2+⋯+anxn=b(1)矩阵,用P(i(k))表示将单位矩阵In的第i列乘以a1,a2,⋯,an,b∈Z,nE2数k所得的初等矩阵,则当k为非零时,P(i,j),将(1)写成矩阵方程为:P(i,j(k)),P

4、(i(±1))都是Z上的可逆矩阵,用x1(a1,a2,⋯,an)表示整数a1,a2,⋯,an的最大公因x2数。[a1,a2,⋯,an]=b(2)•定理2设整数a1,a2,⋯,an不全为零,若dxn=(a1,a2,⋯,an),则存在Z上的n阶可逆矩阵P,[1]定理1对Z上的任意可逆矩阵P=使得[a1,a2,⋯,an]P=[0,⋯,0,d](pij)n×n,(即pij∈Z,i,j=1,2,⋯,n,且detP证明设d1=(a1,a2),d2=(d1,a3),⋯,=±1)不定方程(1)同解于dn-1=(dn-2,an),则dn-1=dX收稿日期:2003-

5、05-120基金项目:云南省教育厅科研立项课题(云教研[2003]8号)作者简介:晏林(1959-),男,云南省富源县人,副教授,从事代数学和数学实验方面研究.第6期晏林:整数多元一次不定方程的矩阵解法与程序设计·9·现在Z上对a1,a2作欧几里德算法求d1得:换和用±1乘某一列的倍法变换,当将操作矩阵a2=a1q1+r1,0

6、的通解为:⋯⋯x1t1rk-2=rk-1qk+rk,0

7、Z,c=(a1,⋯,an)即有[a1,a2,⋯]µ[a1,r1,⋯]µ[r2,r1,⋯]µ⋯µ[rk-1,rk,⋯]µ[0,rk,⋯]µ[0,d1,⋯]2程序设计再由上面的方法依次就可得到[0,d1,⋯]µ[0,0,d2,⋯]µ⋯µ[0,0,⋯,本程序是用MATLAB6.0数学软件开发的,dn-1]µ[0,0,⋯,d]已通过测试,有关程序段已作了注释说明,便于理易证解,本程序是一个通用程序。定理3不定方程在MATLAB空间创建bdfc.m文件如下:0y1+0y2+⋯+dyn=b,(d∈Z,d>0)(4)disp('请输入Z上多元一次不定方程的增广矩

8、阵')有解的充要条件是dûb。b=input('b=');%多元一次不定方程的增广矩阵当dûb时,令b=dc,c∈Z,则n