函数零点个数问题赏析

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1、近年高考试卷中的N型函数零点个数问题赏析近些年来，有不少的N型函数零点个数问题出现在不同年份、不同省区与全国的高考试卷中，这不能不成为高考的热门话题和需要我们研究并指导高三学生进行科学备考的一个重点内容。什么是N型函数零点个数问题呢，就是含参函数在其定义域内连续可导，有两个极值点、并将其定义域分成三个单调区间，通常是“增减增”或“减增减”，在此条件的基础上，方程或的根的个数与参数取值范围相关的问题。这里注意：函数在其靠近定义域两端点时，函数值会很大或很小（即一端足够大，大于极大值；一端足够小，小于极小值）。N型函数有哪些呢

2、？一可能是三次函数，二可能是函数，它们在定义域内都必须有两个极值点。例1、（2006年福建高考卷）已知函数，。（Ⅰ）求f(x)在区间上的最大值；（Ⅱ）是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）构作函数，；求导得：，，函数单调性与极值列表如下：依题意，转化为函数图象与轴的交点为3时情形，当充分接近时，，当充分大时，，为此有：。故的取值范围为。例2、（2008年四川高考卷）已知是函数的一个极值点。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数

3、的图像有3个交点，求的取值范围。7解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，，，故函数单调性与极值情况如下表：因此，，，所以在的三个单调区间上，直线与的图象有三个交点，当且仅当；因此，的取值范围为。例3、（2009年陕西高考卷·文）已知函数。（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在处取得极值，直线与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。解析：（Ⅰ）略；（Ⅱ）因为在处取得极大值，所以，得：，继而，，由解得。如下表因为直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。评述：以上三例为两个函数图象（或一条直线与一个函

4、数图象）有三个不同交点的问题，都可以转化为一个N型函数有三个零点问题，即方程或有三个根的问题，列相应不等式组，或，解出参数范围，如下图。图一（1）图一（2）7例4、（2007年全国高考Ⅱ卷）已知函数。（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：。解析：（Ⅰ）切线方程为：。（Ⅱ）如果有一条切线过点，则存在，使，即。于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根。记，则。当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方

5、程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则，即。7例5、（2010年湖北高考卷·文）设函数，其中，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）确定的值；（Ⅱ）设曲线在点处的切线都过点（0,2）.证明：当时，；（Ⅲ）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围。解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略；（Ⅲ），。由于点处的切线方程为，而点（）在切线上，所以，化简得，即满足的方程为。过点（）可作的三条切线，等价于方程有三个相异的实根，即等价于方程有三个相异的实根。设，则。令＝0得列表

6、如下：0＋0－0＋↗极大值1↘极小值↗由的单调性知，要使=0有三个相异的实根，当且仅当，，即。故的取值范围是。例6、（2008年湖南高考卷·文）已知函数有三个极值点。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若存在，使函数在区间上单调递减，求的取值范围。解析：（I）证明：因为函数有三个极值点，也即有三个互异的实根。7设，则，其单调性与极值如下表：由于有三个不同实根，所以且。即，且，解得且故。（II）略。评述：例4、例5为过某定点可作曲线（或函数图像）的三条切线的条件问题，此问题可以转化为一个N型函数有三个零点问题，即方程或有三个根的问题。而例6

7、则是原函数有三个极值点的问题，它等同于其导函数（是N型函数）有三个零点问题，即可转化为方程有三个根的问题。例7、（2005年全国高考Ⅱ卷·文）设为实数，函数。（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点。解析：(I)，令，则，。当变化时，，变化情况如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+↗极大值↘极小值↗∴的极大值是，极小值是(II)函数，由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点。结合的单调性可知：当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，

8、因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上；当的极小值－1>0即(1，+∞)7时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。综上所述，当∪时，曲线=与轴仅有一个交点。例8、（2009年江西高考·文）设函数。（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根