作业题答案1-3

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1、第一章1.4离散随机过程的样本函数皆为常数，即可变常数，式中C为一随机变量，其可能值为，且它们分别以概率0.6，0.3及0.1出现。试确定：（1）是确定性随机过程吗？（2）在任意时刻，的一维概率密度。解（1）是确定性过程；（2）。1.6设随机过程，式中,为两个互不相关的随机变量，且有。求过程的均值，相关函数，协方差函数和方差。解：易得：（1）的均值（2）相关函数（3）协方差函数（4）方差1.7利用反复掷硬币的方法定义一个随机过程：设掷硬币出现正面和反面的概率相同。求的一维概率分布，和二维分布函数。解：

2、根据题设可得1.8设随机过程的数学期望。求另一随机过程的数学期望。解：1.9信号，其中是均值为1，方差为1的随机变量。设新的随机信号求的均值，相关函数，协方差函数和方差。解：（1）的均值：（2）相关函数（3）协方差函数（4）方差1.10一个随机过程,都是非平稳过程其中，为相互独立，各自平稳的随机过程，且他们的均值均为0，自相关函数相等。试证明这两个过程之和是宽平稳的。证明：（1）均值为一常数：（2）的自相关函数与时间无关：（3）的二阶矩有界：所以过程是宽平稳的。1.11设随机信号，式中a,均为正的常数

3、；为正态随机变量，其概率密度为试讨论的平稳性。解：因为的均值是的函数，所以是非平稳随机过程。1.12平稳过程的自相关函数为求的均值、均方值和方差。（1）的均值因为其中为周期分量；为非周期分量；（2）均方值（3）方差1.14已知两个随机过程其中，是均值为0，方差为1的不相关的两个随机变量，试证过程、各自平稳，而且是联合平稳的；并求出他们的互相关系数。证明：（1），所以，是宽平稳随机过程。所以，是宽平稳随机过程。（2）所以与是联合平稳的。（3）1.17设随机过程,式中A、和为统计独立的随机变量；而且，的均

4、值为2、方差为4，在（－，）上均匀分布，在（－5，5）上均匀分布。试问过程是否平稳？是否遍历？并求出的自相关函数。解：所以随机过程是宽平稳的。随机过程不是遍历的。1.20设复随机过程为其中为正常数，是在（0，2）上均匀分布的随机变量。试求和。解：1.21设复随机过程为式中为个实随机变量，为个实数，求：和应满足什么条件，方能使为复平稳随机过程？解：若要为复平稳随机过程，那么均值为一与时间无关的常数，易得条件1：=0，，则自相关函数也得与时间无关，易得条件2：当时，与不相关，则此时为复平稳随机过程。1.2

5、3有两个独立且联合平稳的随即序列和，它的均值分别是和，方差分别是和，试证明：，[提示：可利用不等式，对于任意的]证明：根据提示，可知由可得同理，由可得，另一方面，故，同理，由可得。证毕1.24若正态随机过程有自相关函数（1）（2）试确定随机变量的协方差矩阵。解：（1），（2），1.28设（齐次）马尔可夫链的一步转移概率矩阵为试问此链共有几个状态？是否遍历？求它的二步转移概率矩阵。是否存在？并求之。解：（1）此链共有3个状态；（2）因为，所以此链是遍历的。（3）（4）根据遍历性的定义可知，是存在的。且解

6、之得：，，1.29随机电报信号(其样本函数如图1-9-1所示)满足下述条件：（1）在任何时刻，只能取0或1两个状态。而且，取值为0的概率为1/2，取值为1的概率也是1/2，即：（1）每个状态的持续时间是随机的，若在间隔（0,）内波形变化的次数服从泊松分布，即式中，为单位时间内波形的平均变化次数；（2）取任何值与随机变量互为统计独立。试求随机电报信号的均值，自相关函数，自协方差函数。图1-9-1的样本函数解：（1）（2）因为：假设：如果，则在时间间隔内有偶数个滤形变化点因为所以，因为所以即那么由于自相关

7、函数的对称性：（或者）（3）（或者）（4）1.30设顾客到达商场的速率为2人/分钟，求：（1）在5分钟内到达顾客数的平均值；（2）在5分钟内到达顾客数的方差；（3）在5分钟内至少有一个顾客到达的概率。解：由已知条件可知t时刻内顾客到达数为泊松过程。（1）,（2）（3）1.31设是独立同分布的随机变量，随机变量。证明：若是服从参数为的泊松分布，则服从参数为的泊松分布。证明：数学归纳法（1）n=1时，，显然成立（2）假设n=k时，结论成立，即服从参数为的泊松分布，则当n=k+1时，,其中即，服从参数为的泊

8、松分布。故当n=k+1时，结论也成立。综上可得命题成立，证毕。第二章2.1（1）已知一个常数，一个概率密度是的随机变量，我们构成随机过程。试证：的功率谱等于。（2）若另外还知道一个在区间均匀分布的随机变量，证明过程的功率谱等于证明：（1）（2）2.2在下列函数中，试确定哪些函数是功率谱密度，哪些不是，并说明原因。；解：只有（1）（6）是功率谱密度。（2）（7）（9）（12）非偶，（3）（5）（10）有负值，（4）（8）（11）非实，均不满足功率谱密度要求