求函数最值的常用方法

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1、求函数最值的常用以下方法：　　1．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现．例1　设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________.【思路】　先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值．【解析】　∵a>1，∴函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上是增函数，∴函数在区间[a,2

2、a]上的最大值与最小值分别为loga2a，logaa＝1.∴loga2＝，a＝4.故填4.【讲评】　解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性．这一点处理好了，以下的问题就容易了．一般而言，对一次函数、幂函数、指数函数、对数函数在闭区间[m，n]上的最值：若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x)min＝f(m)，f(x)max＝f(n)；若函数f(x)在[m，n]上单调递减，则f(x)min＝f(n)，f(x)max＝f(m)；若函数f(x)在[m，n]上不单调，但在其分成的几个

3、子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．例2　(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________．【解析】　方法一：设＝t(t≥

4、0)，∴x＝1－t2，∴y＝x＋2＝1－t2＋2t＝－t2＋2t＋1＝－(t－1)2＋2，∴当t＝1即x＝0时，ymax＝2.方法二：f(x)的定义域为{x

5、x≤1}，f′(x)＝1－，由f′(x)＝0得x＝0.0＜x≤1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．x＜0时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．∴当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝2.(2)求函数y＝x＋的值域．【解析】　换元法：由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴设x＝2cosθ(θ∈[0，π])，则y＝2cosθ＋＝2cosθ＋2sinθ＝

6、2sin(θ＋)，∵θ＋∈[，]∴sin(θ＋)∈[－，1]，∴y∈[－2,2]．3.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法．例3　已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值．【思路】　将函数表达式按ex＋e－x配方，转化为关于变量ex＋e－x的二次函数．【解析】　y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2

7、－2at＋2a2－2.∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a<0时，ymin＝f(a)＝a2－2.【讲评】　利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要细心区分：对称轴与区间的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．4．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是

8、指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；≥(a≥0，b≥0)；ab≤()2≤(a，b为实数)．例4　设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．【思路】　先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基本不等式求得最值．【解析】　因为x－2y＋3z＝0，所以y＝，所以＝.又x，z为正实数，所以由基本不等式，得≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．故的最小值为3.故填3.【讲评】　本题是三元分式函数

9、的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决．在利用均值不等式法求函数最值时，必须注意“一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产生失误．5．平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解决的函数最值问题．例5　已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为(　　)A.　　　　　　　　　B.C.D.【思路】　本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义域，再两边平