主振型的正交性

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1、12.7主振型的正交性●在同一体系中，不同的两个固有振型之间，无论对于[M]或是[K]，都具有正交的性质（分别称为第一正交性和第二正交性。●利用这一特性，一是可以将多自由度体系的强迫振动简化为单自由度问题（主要应用在任意干扰力作用下的强迫振动），二是可以检查主振型的计算是否正确，并判断主振型的形状特点。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.7.1主振型的第一正交性n个自由度体系的振型方程为设wi为第i个自振频率，其相应的振型为；wj为第j个自振频率，其相应的振型为。将它们分别代入上式，

2、可得(a)(b)对式(a)两边左乘以，对式(b)两边左乘以，则有(c)(d)将式(d)两边转置，将有(e)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®将式(c)减去式(e)，得当时，得式（12-83）称为主振型的第一正交性，它表明，对于质量矩阵[M]，不同频率的两个主振型是彼此正交的。(12-83a)即(12-83b)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®12.7.2主振型的第二正交性将式(12-83a)代入式(c)，可得(12-84)式（12-84）称为主振型的第二正交性，它表

3、明，对于刚度矩阵[K]，不同频率的两个主振型也是彼此正交的。12.7.3主振型正交性的物理意义1.第一正交性的物理意义将式分别乘以和，可以得出以下两式AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®式(a)说明第i主振型惯性力在第j主振型上所做的虚功为零；式(b)说明第j主振型惯性力在第i主振型上所做的虚功为零。因此，第一正交性的物理意义是：相应于某一主振型的惯性力不会在其他主振型上做功。(a)(b)AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®2.第二正交性的物理意义由式（12-84），可

4、推导出(c)由式(c)可知，第二正交性的物理意义是：相应于某一主振型的弹性力不会在其他主振型上做功。3.小结主振型的正交性可理解为：相应于某一主振型作简谐振动的能量不会转移到其他振型上去，也就不会引起其他振型的振动。因此，各主振型可单独存在而不互相干扰。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®【例12-29】试验算例12-26所求得的主振型是否满足正交关系。解：由例12-26得知质量矩阵和刚度矩阵分别为又三个主振型分别为AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(1)验算第一正交

5、性同时，有AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®(2)验算第二正交性同时，有经以上检验表明，例12-26所求得的主振型是满足第一、第二正交关系的，其计算是正确无误的。AllRightsReserved重庆大学土木工程学院®