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时间：2018-07-18
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1、10-6多自由度体系主振型的正交性和主振型矩阵1.主振型的正交性正交的概念：两个向量，其中，，称为正交；矢量的概念。正交关系有许多用途，详见线性代数的有关部分。这里我们讨论主振型的正交性：以两个自由度体系为例:功的互等定理（Betti’slaw）即:故有上式可推广到一般情况第一个正交关系为：或证明：由特征方程有将上式两边分别乘以得对其中任一式转置并相减得如果同理也可推得（也可直接利用关于质量矩阵得正交性得到。）对k=L时，我们定义Mk,Kk分别叫做第k个主振型相应得广义质量和广义刚度。由特征方程有:即:由此得:这就
2、是根据广义刚度Kk和广义质量Mk来求频率Wk的公式。这个公式是单自由度体系频率公式的推广。正交关系的利用：判断主振型的形状是否正确；在振型分解法中的应用。例17-8讲解重点正交性的验算2*.主振型矩阵如果将n个彼此正交的主振型向量组成一个方阵，即这个方阵称为主振型矩阵，它的转置矩阵为根据主振型向量的两个正交关系，可以导出主振型矩阵[Y]的两个性质，即[Y]T[M][Y]和[Y]T[K][Y]都应是对角矩阵。下面证明：[Y]T[M][Y]=上式中的对角线元素就是广义质量M1,M2,……Mn,由正交关系知其余元素均为零
3、，故[Y]T[M][Y]为对角矩阵。即[Y]T[M][Y]=对角矩阵[M*]称为广义质量矩阵。同样可得其中Ki为广义刚度，对角矩阵[K*]叫做广义刚度矩阵。在后续章节中，我们将利用这一性质将多自由度体系的振动方程变为简单的形式。
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