几何代数和几何计算

《几何代数和几何计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、霸参见徊僻既回见徊鼢露《口》◆石赫李洪波数学是研究现实世界的“数”与“形”的科学。数学处理几何体．从而以一种既解析叉综合的方式研究几就是围绕这两个概念的演变而发展的，也通过这两个何学。经过一个半世纪，莱布尼茨的设想才有所实现。基本概念应用到各个不同的领域中去。代数是研究19世纪中期，首先是格拉斯曼(H．G—s蚍nann)和凯“数”的学科，几何是研究“形”的学科。数学科学发展莱『A．ca“evl建立了后来以他们名字命名的向量和多的历程中两者彼此独立，又相互缠绕。几何(形)的概向量的外代数系统。根据

2、格拉斯曼的观点．一个代数念用代数(数)表示，几何的目标可经过代数计算实现；用于表示几何的物体．如果通过代数的加、减、乘、除等反之．代数语言赋有了几何背景，可更加直观地理解它运算．能够表示纯粹的几何物体的加、减、乘、除等运们的意义，发现它们的丰富内俩。吴文俊院士指出：几算．得到的代数运算结果依然是纯粹的几何体，那么，何代数化，在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决这个代数就足一种几何语言．通过它可以直接进行几定性的作用。何计算。格拉斯曼把3维线性空间推广到n维。通过把n几何计算的代数化维欧氏空间嵌入

3、到n+1维欧氏向量空间，为射影几何16世纪前的欧洲。几何学的发展一直是沿袭综合建立了真正的几何语言。这种语言根本不用坐标．当“vmhetic)的方式。这种方式强调从基本儿何体和几何需要使用坐标时，可以根据情况选择合适的齐次坐标．关系出发，在某个公理体系内进行几何证明和推断。其后，哈密顿通过建立四元数系，把微移{分推广到向量这种欧几里得的演绎体系长期占据着西方数学的统治分析，并建立了向量代数。这足3维欧氏位移空问上的地位。一种几何语言。克利福德fw．cli助rd)通过建立对偶四17世纪初，笛卡儿创

4、立了坐标几何．实现了“数”元数．实现了3维欧氏空间巾刚体运动的乘法表H‘，得与“形”的紧密结合．这与中国古代数学的几何代数化到比向量代数更接近丁几何的语言。1879年．克利福思想是相通的。坐标就是变量。坐标儿何使变量进人德建立了“几何代数”．即后来的克利福德代数，它是正了数学，为微积分的伟大发现创立了前提条件。17世交几何的真正几何语言。纪后半叶．微积分创始人之一、大数学家莱布尼茨认非欧几何的创立是几何学发展的划时代事件。19为．坐标仅仅是数字，一串坐标就是一串数字，然而坐世纪前半叶，罗巴切夫斯

5、基创赢了非欧几何。，罗氏几何标系作为纯粹的外部参照物，它诱导的代数表示本身的问世击破了欧氏几何的·统天下，拓展了人们肘几没有几何意义，在此基础上进行的只是纯粹的代数计何学的认识，使几何学的发展产生革命性的变化。直算。通过坐标计算实现几何研究是一种解析(a兀a1-rtic)到19世纪后半叶，罗氏几何的重要性才得到充分认的方式。他提出：“如何创造一种几何语言．利用它可识。非欧几何为黎曼几何的创市提供了条件，而黎曼几以直接进行几何计算和几何推理?”这形成菜布尼茨何是爱凶斯坦相对论的数学基础。的宏伟设想

6、，即通过几何语言直接进行儿何计算，直接19世纪中期．火数学家高斯的学生瓦赫特fWachter1在研究非欧几何时，发现欧氏几何可以在双石赫．李洪波：研究员．中国科学院数学与系统科学研究院数学机曲空间的某类球面上等距地实现。1872年，李(s．Lie)械化重点实验章，北京100080。在他的博士论文中首次建立了该模型的代数表示。这shiHe，bHo”gh0：Pro‰sor，K8y‰mtofy0fM讪e咖tlcsMachaniz枷on，chmeseAcadelnyofsci⋯，Beqi“gltxx堪O

7、个模型为n维欧氏几何提供的嵌A空间足Ⅱ+2维闵2005年9月(57卷5期)o穗潺氏向量空间。由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏表示主要依靠空间的共形变换群的双层覆盖，因而这一模型义被称协变量，即更高为共形模型。维数几何空间遗憾的是，历史上共形模型长期局限于坐标表示，中的不变量。因它对构造欧氏几何甚至经典儿何的真正几何语言的贡此．几何表示的献长期没有表现出来。核心是构造合1869年，贝尔特拉米(E．Beltmmi)给出罗氏几何的适的协变量代直观解释．说明罗氏平面可以看作负常数曲率的曲面。，数，几何

8、计算的1871年．克莱因建立了射影度量和非欧几何的关系。核心是解决不他指出．欧氏几何和罗氏几何都可用射影方法构造m，堂量代数的符来。1882年，庞加莱给出了一种模型：取圆的内部作为号计算问题。庞加莱模型：二维双曲空间罗氏平面．把垂直于已知圆周的圆弧看作罗氏几何的刘于经典在欧氏平面的共形实现直线，运动是把圆变为自身的反演。这是现代经常使几何，有一类以用的非欧几何在欧氏平面上等距实现的模型。，统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大这么多杰出的数学家参与几何代数和几何模型的基本成分：表示几何