2013东南大学数模校赛B题

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1、第七届大学生数学建模竞赛2013.05.17-2013.05.22主办：东南大学教务处承办：东南大学数学系东南大学数学建模竞赛组委会电气工程学院丁一阳林生津徐小涵摘要本文以概率论、存贮模型、差分方程为主要理论基础，通过分析题中给出的销量数据，建立模型，求解出商店现有的进货策略和所售商品的市场需求，并对进货策略进行进一步分析，最后给出进货策略的优化方案。针对问题一，文中首先讨论了问题二，根据需求量泊松分布折线图及实际销售量频率分布散点图，C类产品销售零点表示当日缺货的概率大于A、B类产品，所以将C的销售零点作为分析的切入口；

2、建立递推方程组，通过计算和推理，求解出该店三类产品的以贮存量固定模型进货，具体策略是：当两类或两类以上产品缺货时立马进货，补货至贮存上限：A45件，B75件，C120件。初始时A、B、C均满仓。统计得共进货53次。针对问题二，我们通过对商品销售数据进行统计，绘制销量频数图，结合经验归纳出商品的日需求量服从Poisson分布；建立了日需求量泊松分布概率模型，并用实际销售量频率分布图对其进行了检验。建立了前k天的总需求量的近似线性模型，通过最小二乘法与实际销售数据拟和确定了模型中的参数，并得到日销售量均值：A是2.7，B是4.

3、7，C是7.5。针对问题三，本文将不同的日贮存量视作独立的状态，用马尔科夫链描述每日贮存量的变化过程，通过求解马尔可夫链的转移概率矩阵的稳定解从而求出日贮存量的概率分布，用Sx期望的方式求出缺货量计算模型：LQxx825xnx(xnjiPD)(iPQ)(j)，同时求i01ji出缺货时间的计算模型：T825LR。最后，按销售数据求解出：A缺货时间56、A缺x货量139；B缺货时间60、B缺货量215；C缺货时间53、C缺货量259。针对问题四，文中首先提出了一个描述不同存贮策略下求解最小缺货量及最少进

4、货次数的优化模型，用分段差分方程描述存贮量的变化过程；用泊松分布描述需求量的概率分布。算法上采用计算机的递推算法进行仿真，通过对缺货量、缺货天数以及进货次数的统计，比较几种策略的效果，可知当任意一种产品贮存量不足某一设定下限随即进货，补足至45,75,120（贮存上限）。关键词:存贮模型Poisson分布MarKov链算法仿真1问题重述经销权是一种无形资产。成功的企业与优秀的经销商互为前提，互相依存，是一个不可分割的利益共同体。经销商为谋求利益最大化需要对代销品做出相对合理的进货策略。本题中，某商店取得了某物在该区域的市场

5、经销权，销售该物的三类产品。根据所提供的800余天的销售量建立数学模型，分析推导出商家的进货策略并对该策略进行评析、优化。本文尝试解决以下问题:问题一：分析确定该店三类产品符合实际情况的进货策略，并求解出该店在800多天内进货情况。问题二：通过对进货策略的分析与研究，给出该三类产品在该区域的市场需求。问题三：分析在现有进货策略下，该店包括缺货时间及缺货量在内的缺货情况。问题四：在现有进货策略已经充分考虑该店的产品存贮能力的假设情况下，改进进货策略，将缺货损失减半，且进货次数尽可能少。2问题分析对问题一，题目给出的条件并不多

6、，我们只能把销售记录作为切入点进行探究。进货策略在一般情况下可按两种情况进行考虑，一种是周期固定进货，一种是库存固定进货。前者侧重时间段的长短，后者侧重销售量的多少。800多组数据中，日销售量为0的点应该作为重点的研究对象，日销售量为0包含两种可能，一是产品当日需求量为0，无人购买；二是产品在当日需求量不为0但仓库缺货，无法销售。如果某产品前一日销售量为0，后一日销售量不为0，那么商店可能在这期间进货。我们可以通过统计假想的进货点之间的时间间隔和该时段产品销售量总和来大致判断是商家是等周期进货还是等库存进货。对问题二，我们

7、可以假设购买这一行为是随机的，排除少数的极端情况（如缺货影响购买），产品的日需求量=产品的日销售量，运用统计手段研究各产品需求量的分布是否满足某种特定的分布情况（譬如一般情况下成绩的分布满足正态分布）或者呈现某种规律。相对于1日这一基本计数单位，800余日的样本容量应该足够求出大致的需求量。同时我们注意到，题中对三种产品的描述为“该物的三类产品”，那么三类产品的需求量是否存在关联，是否呈现某种比例关系，三类产品是否存在互补关系或者替代关系都可以纳入考虑范围。对问题三，我们要明确“缺货量=需求量—贮存量（缺货状况下）”这一等

8、式意义。解决问题一后我们已经可以明确知道商家的进货策略，其中可能包括进货时间的间隔、每次进货的数量和贮存量的上限。我们可以将不同的日贮存量视作不同的状态，尝试用马尔可夫链的转移概率矩阵求出日贮存量的概率分布。根据问题二中我们求解出的各产品的日市场需求，预计应该可以得出日需求量的概率分布。把这两个值作比较