回归教材 数列、不等式

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1、4.数列、不等式1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：an＋1－an＝d(d为常数)或an＋1－an＝an－an－1(n≥2)．(2)等差数列的性质①当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n项和Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n是关于n的二次函数且常数项为0.②若公差d>0，则为递增等差数列；若公差d<0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列．③当m＋n＝p＋q时，则有am＋an＝ap＋aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am＋an＝2ap.

2、④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．[问题1]　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝12，S20＝17，则S30为(　　)A．15B．20C．25D．30答案　A2．等比数列及其性质(1)等比数列的判定：＝q(q为常数，q≠0)或＝(n≥2)．(2)等比数列的性质当m＋n＝p＋q时，则有am·an＝ap·aq，特别地，当m＋n＝2p时，则有am·an＝a.[问题2]　(1)在等比数列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整数，则a10＝________.(2)各项均为正数的等比数列{

3、an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________.答案　(1)512　(2)103．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为an＋1＝an＋f(n)，可采用累加法．(4)数列的递推公式为an＋1＝an·f(n)，则采用累乘法．(5)已知Sn与an的关系，利用关系式an＝求an.(6)构造转化法：转化为等差或等比数列

4、求通项公式．[问题3]　已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式为an＝________.答案　n·2n解析　令x＝2，y＝2n－1，则f(xy)＝f(2n)＝2f(2n－1)＋2n－1f(2)，即an＝2an－1＋2n，＝＋1，所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝n·2n.4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；

5、(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法如：＝－；＝.(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4]　数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N，n≥1)，若a2＝1，Sn是{an}的前n项和，则S21的值为________．答案　5．如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的

6、大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合．[问题5]　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．解　原不等式化为(x－)(x－1)<0.∴当0

7、11时，不等式的解集为{x

8、

9、参变量和变量分离出来．(4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[问题6]　如果kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，则实数k的取值范围是(　　)A．－1≤k≤0B．－1≤k<0C．－1

10、元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值．[问题7]　若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)A．6＋2B．7＋2C．6＋4D．7＋4答案　D解析　由题意得所以又log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4