2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第8章第51讲直线与圆的综合应用

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1、第八章平面解析几何初步直线与圆的综合应用第51讲直线与圆相切【例1】已知E(－2,4)，F(4,1)，G(8,9)，△EFG的内切圆记为⊙M.(1)试求出⊙M的方程；(2)设过点P(0,3)作⊙M的两条切线，切点分别记为A，B；又过P作⊙N：x2＋y2－4x＋λy＋4＝0的两条切线，切点分别记为C，D.试确定λ的值，使AB⊥CD.点评为了减少计算量，本题中的三条直线，两条互相垂直，两条关于水平直线对称．因而也可以通过求角平分线的交点而得出圆心．事实上，一条水平线为y＝4，两条互相垂直直线的角平分线所在直线的斜率为tan(α＋π/4)＝－3(tan

2、α＝2)，直线方程为y＝－3x＋13，两直线交于点(3,4)，即为圆心，后利用圆心到任一条直线的距离即就是圆的半径．另外，本题中涉及线性规划，几何概型等考点，但仅是给出它们的背景，不要深入挖掘．将知识点有机组合而成的综合问题，是命题的一种趋势．【变式练习1】已知圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，点A(2a,0)，B(0,2b)，且a>1，b>1.(1)若圆与直线AB相切时，求线段AB的中点的轨迹方程；(2)若圆与直线AB相切，且△AOB面积最小时，求直线AB的方程及△AOB面积的最小值．直线和圆的方程的综合应用【例2】求过直线2x+y+4=0和圆

3、x2+y2+2x-4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程．(1)过原点；(2)有最小面积．点评联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标．进而求出圆的方程计算繁琐．可以用过直线与圆交点的圆系方程进行求解．设直线l：Ax+By+C=0与圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则方程x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0表示过直线l与圆C的交点的圆系方程．动圆性质的探究【例3】已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点

4、，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【解析】(1)圆C的方程可化为(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为(t，t2)，则由题意有t－t2＋2＝0，所以t＝－1或t＝2，故圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10或(x－2)2＋(y－4)2＝16.点评动圆过定点问题有两种解法：一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证；二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得定点坐标．【变式练习3】已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在

5、斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．1.过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________________2.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为__________x＋y－1＝035.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴上和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切

6、点为M，O是坐标原点，且有

7、PM

8、＝

9、PO

10、，求使

11、PM

12、最小的P点坐标．1．求圆的方程通常用待定系数法．若所求的圆过已知两圆的交点或一直线与圆的交点，一般用圆系方程．2．如果圆心问题转化为三角函数问题更方便求解，则将圆上的点的坐标用参数式表示，特别是求最值的问题．3．有关直线和圆的位置关系，一般要由圆心到直线的距离与半径的大小来确定．4．直线与圆所涉及的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系等，构成了解析几何问题的基础．因此，要在这些基础知识的内在的联系和基本方法的运用、通法的熟练程度上下狠功夫

13、．