交大自主招生试题

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1、交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是()A．星期四B．星期三C．星期二D．星期一2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是()A．B．C．D．3．方程cos2x-sin2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是()A．B．m>-3C．m>-1D．4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px

2、+q＝0的两个根，则此数列各项的积是()A．pmB．p2mC．qmD．q2m5．设f’(x0)＝2，则()A．-2B．2C．-4D．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f(x)的原函数是，则__________．2．设，则函数(的最小值是__________．3．方程的解x＝__________．4．向量在向量上的投影__________．5．函数的单调增加区间是__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x2-(k+13)x+k2-k-2＝0的两根

3、分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有，．试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f(x)满足：f(x+2)＝-f(-x)，f(0)＝1，f(3)＝4，试求f(x)．3．(8分)求极限．4．(10分)设在x＝0处可导，且原点到f(x)中直线的距离为，原点到f

4、(x)中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．(b,c>0)5．(8分)证明不等式：，．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．OyxB1A2A1B27．(11分)如图所示，设曲线上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，△A1B2A2，…，直角顶点在曲线上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．2000年交大联读班试题1.直线关于的对称直线为_______________。2.已知是的三边，，，且满足，则是_________

5、______的三角形。3.已知，则_______________。4.已知满足：，则的最小正周期是_______________。5.已知是偶函数，是奇函数，且，则_______________。6.是的三边，且，则_______________。7.是十进制的数，是的各个数字之和，则使成立的最小的是_______________。8._______________。9.函数的反函数是_______________。10.已知数列（是不等于1的常数），则_______________。11.从自然数1至100中任取2个相乘，其结果是3的倍数的情况有种_______

6、________。（取出的数不分先后）12.己知在处可导，则_______________。13.已知为整数，为非负整数，，则整点的个数为_______________。14.抛物线上，点坐标为，抛物线在点的切线与轴及直线夹角相等，求点P的坐标。1.在中，，，①求证：②求。2.已知，，①若点在单位圆上以为起点按顺时针方向转一圈，求点的轨迹；②若点在直线上运动，而点在过点的直线上运动，求，的值。3.若满足，求下列函数的最小值：①；②；③。4.若方程有3个不同实根，求实数的取值范围。5.己知函数满足，又，求函数的解析式。6.口袋中有4个白球，2个黄球，一次摸2个球，摸

7、到的白球均退回口袋，保留黄球，到第次两个黄球都被摸出，即第次时所摸出的只能是白球，则令这种情况的发生概率是，求。2001年交大联读班数学试卷1.数的位数是_______________。2.求_______________。3.，，则用表示_______________。4.，，求_______________。5.，求的最小值为_______________。6.有一盒大小相同的球，它们既可排成正方形，又可排成一个正三角形，且正三角形每边上的球恰比每边上正方形多2个小球，球数为_______________。7.数列中，，求_______________。8.展

8、开式中系数