常用的二次曲面方程及其图形

《常用的二次曲面方程及其图形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、常用的二次曲面方程及其图形旋转曲面：L是XOZ平面内的一个曲面pP0fxz(,)0y0其方程是：22得到旋转面的方程为：fxyz(,)0柱面：是空间的一个曲线，直线L沿着平行移动所形成的曲面，叫做柱面，称作柱面的准线，L称作柱面的母线。fxy(,)0若准线的方程为z0当母线方向向量是{l,m,n}时，柱面方程是lmfx(,)zyz0nnxft()若准线的方程是：:(yht)，母线的方向向量为zgt()xft()lu{l,m,n}时，柱面方程是：:(

2、yht)muzg()tnu1、椭圆球222xyz方程为：2221-------------------（1）abc曲线为：222xyz1）由方程（1）可知1，1，1，222abc2）其与三个坐标平面的交线为：22xy122abz=022xz122acy=022yz122bcx=0这些交线都是椭圆。3）再看这个曲面平行于xoy的平面z=z(zc)的交线11222xyz12221abc22xy122a22b22(cz1)(cz)221ccz=z14）如果a=b

3、,那么方程变为：222xyz1222aac222xyz221-----------------------（2）ac根据旋转曲面的知识：22xz（2）式表示在xoz平面上的椭圆221围绕z轴的而行程的ac旋转曲面，它与一般椭圆球不同之处在于，其用z=z平面截得的平面为一个1圆点在z轴上的圆。具体步骤：1）列出平面曲线（母线）方程，比如f(x0,y0)02）旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列出空间旋转曲面等式3）当z=z，带入平面曲线方程。0M(x,0,z)000Mxzy)

4、,,(22xz00122ac22xyx0222xyz0带入平面曲线方程：221ac22z2xy当z0=z时，得到：221ac2、抛物面方程为：22xyz（p与q同号）2p2q取p>0,q>01）当z=0时，截得为原点O,原点叫做抛物面的顶点z2）当z=1平面截得曲面为圆点在z轴上的圆。22xyz2p2qz=z122xy12pz2qz113）当y=0时，截得的为xoz平面上的抛物线2x2pz4）当y=y1平面截得曲面为平行xoz平面的抛物线22xyz2p2qy=y1

5、2yx22p(z1)2q5）当p=q时，22xyz表示xoz平面上的抛物线2p2p2x2pz围绕z轴而称的旋转曲面。具体步骤：M(x,0,z)111M(x,y,z)21）x12pz12）22xyx122xy2pz1z3)1=z时，得到：22xyz2p2p3、双曲抛物面（鞍型曲面）方程为：22xyz（p与q同号）2p2q4、双曲面方程为：单叶双曲面222xyz1222abc1）当z=0时，为过原点的圆，圆点在原点上。22xy221ab2）当用平行与z=0的平面z=

6、z截双曲面时，1222xyz2221abcZ=z122zxy211-------------椭圆222abc3）当y=0时，在xoz平面上为一双曲线22xz122ac4）当用平行y=0的平面y=y（y≠±b）截得曲面为中心在y轴上的双曲线11222xzy11222acb双曲线知识回顾：mMF1MF22a2aF1F2双曲线定义a(F、F为定点，为常数)12图形22xy221a0，b0yx标准方程a2b21a0，b022abFc，0Fc，

7、012F0，c1F0，c焦点坐标2ab,,c222cabca0，cb0双叶双曲面222xyz1222abc