平面向量四心问题doc

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1、三角形“四心”向量形式的充要条件及其应用1.三角形的“四心”定理的平面几何证明①三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。证明:设AB、BC的中垂线交于点O，则有OA=OB=OC，故O也在AC的中垂线上，因为O到三顶点的距离相等，故点O是ΔABC外接圆的圆心．因而称为外心．②三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心。证明:AD、BE、CF为ΔABC三条高，过点A、B、C分别作对边的平行线，相交成ΔA′B′C′，AD为B′C′的中垂线；同理BE、CF也分别为A′C′、A′B′的中垂线，由外心定理，它们交于一点，命题得证．③三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

2、④三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。证明:设∠A、∠C的平分线相交于I,过I作ID⊥BC，IE⊥AC，IF⊥AB，则有IE=IF=ID．因此I也在∠C的平分线上，即三角形三内角平分线交于一点．2.三角形的“四心”定理的平面向量表达式及其证明P1P3OP①是的重心(其中是三边)证明：充分性是的重心5若，则，以，为邻边作平行四边形，设与交于点，则为的中点，有，得，即四点共线，故为的中线，同理，亦为的中线，所以，为的重心。必要性：是的重心如图，延长交于，则为的中点，由重心的性质得.∵∴P1P3OP②点是的垂心证明：是的垂心,同理故当且仅当.ABCDO③点是的外心．证明：

3、O是△ABC的外心

4、

5、=

6、

7、=

8、

9、(或2=2=2)(点O到三边距离相等)(+)·=(+)·=(+)·=0(O为三边垂直平分线的交点)④是的内心。(其中是三边)证明：充分性：是的内心=所以，而，分别是，方向上的单位向量，所以向量平分，即平分，同理平分，得到点是的内心。5必要性：是的内心若点O为的内心，延长交于，由三角形内角平分线的性质定理，有，于是再由，有（定比分点）代入前式中便得.必要性证法二：设O是内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。并设　　　　　　　　　　显然不共线，由平面向量基本定理，可设则　　　（ⅰ）若O是的内心，则　故　　必要性得证．同时还可得到以下结论（ⅱ

10、）若O是的重心，则故（ⅲ）若O是的外心OFEDCBA则故5（ⅳ）若O是(非直角三角形)的垂心，则故证明：（A、E、O、F四点共圆）同理因此只需证先证第一个等式（E、C、D、O四点共圆,为的补角；E、O、F、A四点共圆,为的补角）所以上式成立，即第一个等式成立。同理可证：该连等式成立，原题得证。评注：一箭四雕，需要提醒的是，这里只探求了三角形内心向量形式的必要条件，充分性并未证明。与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有：①设，则向量必平分∠BAC，该向量必通过△ABC的内心;②设，则向量必平分∠BAC的邻补角③设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过△ABC的垂心④△ABC中一定过的

11、中点，通过△ABC的重心⑤点是△ABC的外心⑥点是△ABC的重心⑦点是△ABC的垂心⑧点是△ABC的内心(其中a、b、c为△ABC三边)⑨△ABC的外心、重心、垂心共线，即∥⑩设为△ABC所在平面内任意一点，G为△ABC的重心，I为△ABC的内心，5则有并且重心内心5